舒爾不等式

舒爾不等式說明,對於所有的非負實數xyz和實數t,都有:

若且唯若x = y = z,或其中兩個數相等而另外一個為零時,等號「=」成立。當t是正的偶數時,不等式對所有的實數xyz都成立。

證明

由於不等式是對稱的,不失一般性,我們不妨設 。對t分類討論:  時,

 

顯然成立,這是因為左邊的每一項都是非負的。同理, 時,

 

證畢。

推廣

舒爾不等式有一個推廣:

假設a、b、c是正的實數。如果(a,b,c)(x,y,z)同序的,則以下的不等式成立:

 

2007年,羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式:

考慮 ,其中 ,而且  。設 ,並設 或者是凸函數,或者是單調函數。那麼:

 

x = ay = bz = ck = 1、f(m) = mt時,即化為舒爾不等式。[1]

參考文獻

  1. ^ Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.