洛伦兹-亥维赛单位制

洛伦兹-亥维赛单位制（或称亥维赛-洛伦兹单位制）是一种衍生自厘米-克-秒制的单位系统，主要用于电磁学领域。其得名于荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹与英国数学家奥利弗·亥维赛。与同是衍生自厘米-克-秒制的高斯单位制类似，在使用这种单位制时，电常数 $ε 0$ 及磁常数 $µ 0$ 并不在方程中出现，而是整合于相关的单位中。相对于国际单位制，洛伦兹-亥维赛单位制可以视作调整麦克斯韦方程组，归一 $ε 0$ 与 $µ 0$ ，转而在麦克斯韦方程组中使用光速 $c$ 的结果。^[1]^[2]

与国际单位制类似，洛伦兹-亥维赛单位制是有理化的，即在方程中不会出现系数 $4 π$ 。这一点与同是衍生自CGS制的高斯单位制不同。^[1]^[3]正是由于这一单位制是有理化的，其会特别符合量子场论的需求：在该理论所涉及的拉格朗日量中不会出现系数 $4 π$ 。^[1]同时，电荷、电磁场依据洛伦兹-亥维赛单位制所得到的定义也会由于系数 $\sqrt 4 π$ 而发生改变。洛伦兹-亥维赛单位制在弦论这样计算所涉及的空间维度大于三的情形中特别适用，并且还常用于狭义相对论计算。

量纲

与高斯单位制类似，洛伦兹-亥维赛单位制采用“长度-质量-时间”量纲系统，即其中所有的电磁单位都是导出单位，大小取决于长度、质量以及时间所采用的单位大小。电荷的单位是通过库伦定律推导的：当采用高斯单位制时，其形式为 $F = QQ / r 2$ ；而当采用洛伦兹-亥维赛单位制时，其单位则变为 $F = qq /4 πr 2$ 。与之对应的单位转换关系为： $1 dyn cm 2 = 1 esu 2 =4 π hlu$ 。因此，洛伦兹-亥维赛单位制下的单位电荷会比高斯单位制中的大 $\sqrt 4 π$ 倍。

当采用类似于高斯单位制的量纲分析时，即将ε与μ纳入单位考量，我们就可以得到国际单位制与洛伦兹-亥维赛单位制之间的换算关系。例如，洛伦兹-亥维赛单位制中电荷的量纲为 $\sqrt ε L 3 MT -2$ 。当 $ε = 7000885399999999999♠ 8.854 pF/m$ ， $L = 6998100000000000000♠ 0.01 米$ ， $M = 6997100000000000000♠ 0.001 kg$ 以及 $T = 7000100000000000000♠ 1 s$ 时，洛伦兹-亥维赛单位制中单位电荷就为6989940966899999999♠9.409669×10⁻¹¹ C。

由于洛伦兹-亥维赛单位制中电学单位与磁学单位是分离的，则当电学量与磁学量出现于同一方程，就需引入一个常数来构建两者之间联系。与高斯单位制类似，在洛伦兹-亥维赛单位制中，这个常数就是电磁场的传播速度 $c$ 。

有理化

对于任意的单位制，麦克斯韦方程组可以取以下这种形式：

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {D} &=\rho /\beta ,\\\quad \nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\quad \kappa \nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\quad \kappa \nabla \times \mathbf {H} &={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} /\beta ,\end{aligned}}

其中 $D = ε 0 E$ ， $B = μ 0 H$ 。常数 $β$ 与 $κ$ 在不同的单位下形式有所不同。首先设在任意单位下存在 $ε 0 μ 0 c 2 = κ 2$ ，则对于上文述及的三种单位制存在：

高斯单位制： $β = 1/4 π$ ， $κ = c$ ；
洛伦兹-亥维赛单位制： $β = 1$ ， $κ = c$ ；
国际单位制： $β = 1$ ， $κ = 1$ 。

有理化过程所实现是将辐射系数 $γ$ （与场源具有一定距离某点的场强）取代为高斯散度系数 $β$ （场源外某封闭曲面的通量）。二者之间的关系 $γ = 4 πβ$ 可以从一个简单情形类推得到：场源为一点，外面的曲面为一个球面，强度则是通量密度。旧有的模型中， $γ$ 被设为1。而在有理化模型中，则转为设 $β$ 为1。物理学中的有理化方程通常都具有相应的表征对称性的因子：例如平面对称的 $1$ ，柱对称的 $2 π$ 以及球对称的 $4 π$ 。

常数 $κ$ 则通过 $Q = Iκt$ 联系电学单位与磁学单位。当采用高斯单位制或洛伦兹-亥维赛单位制时，由电磁波方程， $κ$ 被设为 $c$ 。但在国际单位制中， $κ = 1$ ，则上式化为 $Q = It$ 。因而在许多教科书中，电荷与电流间的关系为 $Q = It$ 而不是 $Q = Iκt$ 。

有源麦克斯韦方程组

当采用洛伦兹-亥维赛单位制时，自由空间中有源麦克斯韦方程组的形式为：

\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \,

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {J} \,

其中 $c$ 为真空中光速， $E = D$ 为电场强度， $H = B$ 为磁场强度， $ρ$ 为电荷密度而 $J$ 则为电流密度。

洛伦兹力方程为：

\mathbf {F} _{q}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} _{q}}{c}}\times \mathbf {B} \right)\,

其中：试探粒子的电荷量为 $q$ ，速度为 $v q$ ； $F q$ 则为施加在试探粒子上的电场力与磁场力之和。

在高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位中，电学单位与磁学单位都是从力学单位中衍生出来的。电荷就是设 $ε = 1$ 时由库仑定律引入的。在高斯单位制下， $F = QQ / R 2$ ；而在洛伦兹-亥维赛单位下， $F = qq /4 πR 2$ 。由此可以得到 $QQ = qq /4 π$ 。类似地可以得到两种单位制下其他量间大小转换关系：

q_{\mathrm {LH} }\ =\ {\sqrt {4\pi }}\ q_{\mathrm {G} }

\mathbf {E} _{\mathrm {LH} }\ =\ {\mathbf {E} _{\mathrm {G} } \over {\sqrt {4\pi }}}

\mathbf {B} _{\mathrm {LH} }\ =\ {\mathbf {B} _{\mathrm {G} } \over {\sqrt {4\pi }}}

.

几种单位制下电磁学方程的形式比较

麦克斯韦方程组

在这里，我们将列举微观与宏观微分形式的麦克斯韦方程组在三种单位制下的不同形式。积分形式的麦克斯韦方程组可以通过斯托克斯定理由微分形式得到。

方程名称	洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
高斯定理（宏观）	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$
高斯定理（微观）	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
法拉第感应定律	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
麦克斯韦-安培定律（宏观）	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$
麦克斯韦-安培定律（微观）	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

其他基本定律

方程名称	洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
洛伦兹力	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$
库仑定律	$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
静止点电荷的电场强度	$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {E} ={\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
毕奥-萨伐尔定律	$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{c}}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$	$\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$	$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

电介质与磁介质

下面所列的为电介质中几种电场性质。为简单起见，这里仅列举均一、线性、各向同性且无色散介质中的情况，即令电容率为一个常数。

洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +\mathbf {P}$	$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$	$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$
$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\mathbf {E}$	$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\mathbf {E}$	$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\epsilon _{0}\mathbf {E}$
$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$	$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$	$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$
$\epsilon =1+\chi _{\text{e}}$	$\epsilon =1+4\pi \chi _{\text{e}}$	$\epsilon /\epsilon _{0}=1+\chi _{\text{e}}$

其中

E与D分别为电场强度与电位移；
P为电极化强度；
$\epsilon$ 为电容率；
$\epsilon _{0}$ 为真空电容率^[a]；
$\chi _{\text{e}}$ 为电极化率。

高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中的 $\epsilon$ 和国际单位制中的 $\epsilon /\epsilon _{0}$ 都是无量纲量，具有相同的数值。然而，电极化率 $\chi _{e}$ 虽然在所有单位制中都无单位，但对于相同材料而言，却未必具有相同的数值：

\chi _{\text{e}}^{\text{SI}}=\chi _{\text{e}}^{\text{LH}}=4\pi \chi _{\text{e}}^{\text{G}}

下面所列的为磁介质中几种磁场性质。为简单起见，这里仅列举均一、线性、各向同性且无色散介质中的情况，即令磁导率为一个常数。

洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
$\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M}$	$\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$
$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$	$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$	$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$
$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$	$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$	$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$
$\mu =1+\chi _{\text{m}}$	$\mu =1+4\pi \chi _{\text{m}}$	$\mu /\mu _{0}=1+\chi _{\text{m}}$

其中

B与H分别为磁感应强度与磁场强度；
M为磁化强度；
$\mu$ 为磁导率；
$\mu _{0}$ 为真空磁导率；^[b]
$\chi _{\text{m}}$ 为磁化率。

高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中的 $\mu$ 和国际单位制中的 $\mu /\mu _{0}$ 都是无量纲量，具有相同的数值。然而，磁化率 $\chi _{\text{m}}$ 虽然在所有单位制中都无单位，但对于相同材料而言，却未必具有相同的数值：

\chi _{\text{m}}^{\text{SI}}=\chi _{\text{m}}^{\text{LH}}=4\pi \chi _{\text{m}}^{\text{G}}

矢势与标势

电场与磁场的性质可以通过矢势A与标势φ表述：

方程名称	洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
电场强度（静电场）	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$
电场强度（通常形式）	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$
磁感应强度	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

形式变换规律

通常来说，将下表所涉及的量依据对应单位制进行替换，即可完成不同单位制下方程形式的转换。

物理量	洛伦兹-亥维赛单位制	高斯单位制	国际单位制
光速	$c$	$c$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$
电场强度，电势	$\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$	${\sqrt {\epsilon _{0}}}\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$
电位移矢量	$\mathbf {D}$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\mathbf {D}$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}\mathbf {D}$
电荷，电荷密度，电流，电流密度，电极化强度，电偶极矩	$\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$	${\sqrt {4\pi }}\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$
磁感应强度，磁通量，磁矢势	$\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}}}}\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$
磁场强度	$\mathbf {H}$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\mathbf {H}$	${\sqrt {\mu _{0}}}\mathbf {H}$
磁矩，磁化率	$\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$	${\sqrt {4\pi }}\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$	${\sqrt {\mu _{0}}}\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$
相对电容率，相对磁导率	$\left(\epsilon ,\mu \right)$	$\left(\epsilon ,\mu \right)$	$\left({\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}},{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right)$
电极化率，磁导率	$\left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$	$4\pi \left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$	$\left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$
电导率，电导，电容	$\left(\sigma ,S,C\right)$	$4\pi \left(\sigma ,S,C\right)$	${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(\sigma ,S,C\right)$
电阻率，电阻，电感	$\left(\rho ,R,L\right)$	${\frac {1}{4\pi }}\left(\rho ,R,L\right)$	$\epsilon _{0}\left(\rho ,R,L\right)$

自然单位制

当采用国际单位制时，设定 $ε = μ = c = 1$ 即可得到自然单位制所对应的形式的方程，其与采用洛伦兹-亥维赛单位制时的方程形式类似。形式转换并不涉及系数 $4 π$ 。

如，国际单位制中的库伦平方反比方程为 $F = q 1 q 2 /4 πεr 2$ 。当设 $ε = 1$ 时，即可得到采用洛伦兹-亥维赛单位制时的形式： $F = q 1 q 2 /4 πr 2$ 。高斯单位制下的方程分母不含 $4 π$ 。

当在采用洛伦兹-亥维赛单位制时，设定 $c = 1$ ，即可得到采用国际单位制设定 $ε = μ = c = 1$ 时的方程形式：

\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \,

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} \,

\mathbf {F} _{q}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{q}\times \mathbf {B} )\,

注释

^ 这个量会在国际单位制中用到。但在高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中，由于其数值为1，因而常常被忽略。
^ 与真空电容率类似，真空磁导率会在国际单位制中用到，但在高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中则常常被忽略。

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Littlejohn, R. Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory (PDF). Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes. 2011 [2008-05-06]. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-11）（英语）.
^ Silsbee, Francis. Systems of Electrical Units (PDF). JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards- C. Engineering and Instrumentation. 1962, 66C (2): 137–183 [2016-07-26]. doi:10.6028/jres.066C.014. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-05）（英语）.
^ Kowalski, L. A short history of the SI units in electricity. The Physics Teacher. 1986, 24 (2): 97–99. doi:10.1119/1.2341955. （原始内容存档于2009-04-29）（英语）.

外部链接

J·B·卡尔弗特对于洛伦兹-亥维赛单位所做的讲解（英文）

[4] 这个量会在国际单位制中用到。但在高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中，由于其数值为1，因而常常被忽略。

[5] 与真空电容率类似，真空磁导率会在国际单位制中用到，但在高斯单位制与洛伦兹-亥维赛单位制中则常常被忽略。

[Littlejohn-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Littlejohn, R. Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory (PDF). Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes. 2011 [2008-05-06]. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-11）（英语）.

[2] Silsbee, Francis. Systems of Electrical Units (PDF). JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards- C. Engineering and Instrumentation. 1962, 66C (2): 137–183 [2016-07-26]. doi:10.6028/jres.066C.014. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-05）（英语）.

[Kowalski-3] Kowalski, L. A short history of the SI units in electricity. The Physics Teacher. 1986, 24 (2): 97–99. doi:10.1119/1.2341955. （原始内容存档于2009-04-29）（英语）.

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