概率積分轉換

在概率論中，概率積分轉換又稱萬流齊一 (Probability integral transform；Universality of the Uniform) 說明若任意一個連續的隨機變量 (c.r.v)，當已知其累積分佈函數 (cdf)為F_x(x)，可透過隨機變量轉換令Y=F_x(X)，則可轉換為一 Y～U(0,1) 的均勻分佈。換句話說，若設 Y 是 X 的一個隨機變量轉換，而恰好在給定 Y 是其累積分佈函數 (cdf) F_x(X) 本身時，可以將此隨機變量轉化為一均勻 (0,1) 分佈。

應用

• 在統計數據分析中，概率積分轉換可用於確認一組觀察結果是否能給定特定的分佈合理地模型化。具體地來說，此定理能構成一個等值的集合，並進行測試是否成均勻分佈以構建數據集。這方面的例子有P-P plot和K-S檢驗。

• 第二個用途是耦合(關聯結構)，耦合是處理統計中的隨機變量相關性問題的一種方法，由一組隨機變量的邊際分佈來確定它們的聯合分佈。通過關聯結構來確定一個聯合分佈的方法是基於如下的思想，透過此定理可以分別將每個邊緣分佈都轉換為均勻分佈的轉換組成。這樣，一個關聯結構（dependence structure）就可以表達為一個基於上述所得平均分佈之上的聯合分佈，而關聯結構（copula）即是邊緣均勻隨機變數之上的一個聯合分佈。在實際應用中，上述的轉換可能被設置為每個邊緣變量的初始化步驟，或者上述轉換的參數可能根據具體關聯結構的對應參數設置。

• 第三種用途是透過此定理從均勻分佈轉換為特定分佈：這被稱為逆轉換抽樣(inverse transform sampling)。

範例

當有一個任意的連續隨機變量(c.r.v)，其累積分佈函數(cdf)為F_x(x)，設Y定義為

$Y=F_{X}(X)\,$

具有均勻(0,1)分佈

當已知Y～U(0,1)，設Y是X隨機變量轉換，我們令 X = g^-1(Y)，其中g(.)為一增函數，則g(x)恰為X 之累積分配函數(cdf)即

$F_{X}(x)=g(x)\,$

若更精確的定義，令X是具有標準正態分佈N(0,1)的隨機變量時，其累積分配函數(cdf)為:

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,$

其中 $\operatorname {erf} (),$是誤差函數。若將新的隨機變量Y定義為Y=Φ(X）時，則呈均勻分佈。

如果X呈指數分佈X～Exp（$\lambda$）其累積分配函數(cdf)為$F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}$，當$\lambda$為1時，則可得

　$F_{X}(x)=1-e^{-x}\,$透過此定理可轉換為

　$Y=1-e^{-x}$服從均勻分佈。

另外透過對稱性，可得

　$Y'=e^{-x}\,$

依然服從均勻分佈。

相關條目

• 逆轉換抽樣
• 耦合 (概率)
• 指數分佈

參考文獻

1. Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9
2. Sklar, A. Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959, 8
3. 張翔 提綱挈領學統計