李代數胚

在數學中，李代數胚（Lie Algebroid）在李群胚理論中的角色恰如李代數在李群理論中的角色：將整體問題減化為無窮小情形。就像李群胚可以視為「具有許多對象的李群」，李代數胚可視為「具有許多對象的李代數」。

確切地說，一個李代數胚是三元組 $(E,[\cdot ,\cdot ],\rho )$ ，其中 $E$ 為流形 $M$ 上一個向量叢， $[\cdot ,\cdot ]$ 是截面 $\Gamma (E)$ 組成的模上的一個李括號，向量叢同態 $\rho :E\rightarrow TM$ 稱為錨。這裏 $TM$ 是 $M$ 的切叢。錨與李括號滿足萊布尼茲法則：

[X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]\ ,

這裏 $X,Y\in \Gamma (E),f\in C^{\infty }(M)$ 和 $\rho (X)f$ 是 $f$ 沿着向量場 $\rho (X)$ 的導數。從而

\rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]\ ,

對任何 $X,Y\in \Gamma (E)$ 。

例子

任何李代數是單點流形上的李代數胚。

流形 $M$ 的切叢 $TM$ 是一個關於向量場的李括號的李代數胚，錨是 $TM$ 的恆同。

切叢的任何可積子叢（即其截面在李括號下閉）也定義了一個李代數胚。

流形上的任何李代數叢定義了一個李代數胚，這裏李括號逐點定義而錨映射等於零。

對任何李群胚相伴一個李代數胚，推廣了一個李代數怎樣相伴到李群（見下）。例如，李代數胚 $TM$ 來自配對群胚，其對象為 $M$ ，以及任何一對對象之間的一個同構態射。很不幸的是，從李代數胚不一定可以得到一個李群胚 ^[1]，不過任何李代數胚給出一個棧李群胚 ^[2]^[3]。

給定一個李代數 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不變向量場是作用軌道上的李代數胚。

阿蒂亞代數胚：給定流形 M 上的向量叢 V，考慮其導數，即光滑 $\mathbb {R}$ -線性映射 $\psi :\Gamma (V)\to \Gamma (V)$ ，且存在一個向量場 X 使得它們滿足萊布尼茲法則 $\psi (fv)=X[f]v+f\psi (v)$ 對所有光滑函數 f 與向量叢的所有截面 v 。聯繫 $\psi \to X$ 顯然是線性的，從而有向量叢之間的一個映射 $\rho :A(V)\to TM$ （如果你找出叢使得其截面給出導數）。阿蒂亞代數胚進一步由滿足如下短正合列刻畫 $0\to \mathrm {End} _{M}(V)\to A(V)\to TM\to 0$ 。為了說明每個向量叢存在阿蒂亞代數胚，只需注意到它是相伴於向量叢 V 的標架叢李群胚的李代數胚。

與李群胚相伴的李代數胚

為了敘述這個構造我們先確定一些記號。G 是李群胚的態射空間，M 是對象空間， $e:M\to G$ 是單位映射， $t:G\to M$ 為靶映射。

$T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG$ 為 t-纖維切空間。這樣李代數胚是切叢 $A:=e^{*}T^{t}G$ ，從 G 中繼承一個括號，因為我們可以將 M-截面通過 G 上的左不變向量叢等價到 A 中。而且通過將 M 上的光滑函數等價於 G 上的左不變函數，這些截面作用在 M 上的光滑函數上。

作為一個更清晰的例子，考慮配對李群胚 $G:=M\times M$ 相伴的李代數胚。靶映射為 $t:G\to M:(p,q)\mapsto p$ ，單位映射 $e:M\to G:p\mapsto (p,p)$ 。t-纖維是 $p\times M$ 從而 $T^{t}G=\bigcup _{p\in M}p\times TM\subset TM\times TM$ 。所以李代數胚是切叢 $A:=e^{*}T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T_{p}M=TM$ 。截面 X 擴張到 A 中 G 上一個左不變向量場不過是 ${\tilde {X}}(p,q)=0\oplus X(q)$ ，而 M 上一個光滑函數 f 擴張 M 上一個左不變函數是 ${\tilde {f}}(p,q)=f(q)$ 。從而 A 上的李括號恰好是切向量場上的李括號，錨映射是恆同。

當然也可以用源映射與右不變向量場/函數做相同的程序。但是得到的是同構的李代數胚，同構映射是 $i_{*}$ ，這裏 $i:G\to G$ 是逆映射。

參見條目

參考文獻

^ Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
^ Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
^ Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005

Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451

[1] Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[2] Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[3] Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

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