李代數胚

數學中,李代數胚Lie Algebroid)在李群胚理論中的角色恰如李代數李群理論中的角色:將整體問題減化為無窮小情形。就像李群胚可以視為「具有許多對象的李群」,李代數胚可視為「具有許多對象的李代數」。

確切地說,一個李代數胚是三元組 ,其中 流形 上一個向量叢 是截面 組成的上的一個李括號,向量叢同態 稱為。這裏切叢。錨與李括號滿足萊布尼茲法則

這裏 沿着向量場 的導數。從而

對任何

例子

  • 任何李代數是單點流形上的李代數胚。
  • 流形   的切叢   是一個關於向量場的李括號的李代數胚,錨是   的恆同。
  • 切叢的任何可積子叢(即其截面在李括號下閉)也定義了一個李代數胚。
  • 流形上的任何李代數叢定義了一個李代數胚,這裏李括號逐點定義而錨映射等於零。
  • 對任何李群胚相伴一個李代數胚,推廣了一個李代數怎樣相伴到李群(見下)。例如,李代數胚   來自配對群胚,其對象為  ,以及任何一對對象之間的一個同構態射。很不幸的是,從李代數胚不一定可以得到一個李群胚 [1],不過任何李代數胚給出一個李群胚 [2][3]
  • 給定一個李代數 g 在流形 M 上的作用,Mg-不變向量場是作用軌道上的李代數胚。
  • 阿蒂亞代數胚:給定流形 M 上的向量叢 V,考慮其導數,即光滑  -線性映射  ,且存在一個向量場 X 使得它們滿足萊布尼茲法則   對所有光滑函數 f 與向量叢的所有截面 v 。聯繫   顯然是線性的,從而有向量叢之間的一個映射  (如果你找出叢使得其截面給出導數)。阿蒂亞代數胚進一步由滿足如下短正合列刻畫  。為了說明每個向量叢存在阿蒂亞代數胚,只需注意到它是相伴於向量叢 V 的標架叢李群胚的李代數胚。

與李群胚相伴的李代數胚

為了敘述這個構造我們先確定一些記號。G 是李群胚的態射空間,M 是對象空間,  是單位映射,  為靶映射。

 t-纖維切空間。這樣李代數胚是切叢  ,從 G 中繼承一個括號,因為我們可以將 M-截面通過 G 上的左不變向量叢等價到 A 中。而且通過將 M 上的光滑函數等價於 G 上的左不變函數,這些截面作用在 M 上的光滑函數上。

作為一個更清晰的例子,考慮配對李群胚   相伴的李代數胚。靶映射為  ,單位映射  t-纖維是   從而  。所以李代數胚是切叢  。截面 X 擴張到 AG 上一個左不變向量場不過是  ,而 M 上一個光滑函數 f 擴張 M 上一個左不變函數是  。從而 A 上的李括號恰好是切向量場上的李括號,錨映射是恆同。

當然也可以用源映射與右不變向量場/函數做相同的程序。但是得到的是同構的李代數胚,同構映射是  ,這裏   是逆映射。

參見條目

參考文獻

  1. ^ Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  2. ^ Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  3. ^ Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

外部連結

  • Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
  • Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005
  • Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451