射影線性群

射影線性群是代數學里群論中的一類群的稱呼。射影線性群也叫射影一般線性群（一般記作 PGL），是某個系數域為$\mathbb {K}$的向量空間V上的一般線性群在射影空間 P(V) 上誘導的群作用。具體來說，射影線性群是商群：

$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)$

其中的${\mathcal {GL}}(V)$是V上的一般線性群，而$\mathbb {K} (V)$是由V上的所有數乘轉換構成的${\mathcal {GL}}(V)$的子群。之所以在${\mathcal {GL}}(V)$中約去$\mathbb {K} (V)$，是因為它們在射影空間上的作用是平凡的（所以構成群作用的核）。$\mathbb {K} (V)$ 有時也被記作 ${\mathcal {Z}}(V)$，因為它是一般線性群的中心。

與射影線性群類似的還有射影特殊線性群，一般記作PSL。它的定義與射影線性群相似，只不過不是在一般線性群而是在特殊線性群上。

$\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)$

其中的${\mathcal {SL}}(V)$是V上的特殊線性群，而${\mathcal {SZ}}(V)$是$\mathbb {K} (V)$在${\mathcal {SL}}(V)$中的子群（即行列式等於1的數乘轉換構成的子群）。顯然 ${\mathcal {SZ}}(V)$ 是 ${\mathcal {SL}}(V)$ 的中心。若$V=\mathbb {K} ^{n}$（n 維空間），則 ${\mathcal {SZ}}(V)$ 同構於由n 次單位根構成的群。

射影線性群與射影特殊線性群都是群論和幾何中最常研究的群，即所謂的「經典群」。射影線性群中的元素稱為射影線性轉換。$V=\mathbb {K} ^{n}$（n 維空間），那麼這個射影線性群也記作$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(n,\mathbb {K} )$ 或 $\mathbb {P} {\mathcal {GL}}_{n}(\mathbb {K} )$。

當且僅當 $\mathbb {K}$ 中每一個元素的n 次根都在 $\mathbb {K}$ 中，例如在 $\mathbb {K}$ 代數封閉（比如是複數域 $\mathbb {C}$）的時候，射影線性群與射影特殊線性群等同。$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {C} )=\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {C} )$。但是系數域為實數的時候，就有$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {R} )>\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {R} )$。幾何的解釋是：實射影直線是有向的，而實射影特殊線性群只包括保持定向的轉換。

射影線性群與射影特殊線性群也可以在環上定義，一個重要的例子是模群$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {Z} )$。