反對稱張量

數學理論物理學中,若一張量符號(+/−)隨着指標子集的互換而變化,則稱此向量在指標子集上是反對稱的(或相對於指標子集反對稱)。[1][2]指標子集一般必須是全協變或全反變的。

例如, 當張量對前三個指標反對稱時成立。

若張量在交換每對指標時符號都變化,就稱此向量是全反對稱的。k全反對稱協變張量場可稱作微分k-形式,全反對稱反變向量場可稱作k-向量場。

反對稱張量與對稱張量

對指標ij反對稱的張量A與對指標ij對稱的張量B縮並都是0。

對於包含 的一般張量U和一對指標ijU可分為對稱部分和反對稱部分:

    (對稱部分)
    (反對稱部分)

其他指標對也可給出類似定義。正如「部分」暗示的,對給定的一對指標,張量是其對稱部分和反對稱部分之和,例如  

符號

反對稱可用方括號表示。例如,對任意維的2階協變張量M  對3階協變張量T 

在任意2維和3維中,都可以寫成   其中 是廣義克羅內克δ函數,我們使用愛因斯坦求和約定對同類指標求和。

更一般地說,無論維數多少,p個指標上的反對稱都可表為  

一般說來每個為2的張量都能分解為一對對稱張量和一對反對稱張量,如  

對秩大於等於3的張量,這種分解一般並不正確,因為它們具有更複雜的對稱性。

例子

全反對稱張量包括:

另見

註釋

  1. ^ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo. From Vectors to Tensors. Springer. 2005: 225. ISBN 978-3-540-22887-5.  section §7.

參考文獻

外部連結