数学中,对称化是将n元任意函数转换为n对称函数的过程。同样,反对称化n元任意函数转换为反对称函数。

二元

S集合A加法阿贝尔群。映射 ,若满足以下条件,则称其为对称映射  若满足以下条件,则称其为反对称映射 

映射 对称化是映射  相似地,映射 反对称化斜对称化是映射 

映射 的对称化与反对称化之和为 因此,若2是可逆元,例如对实数,可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。

对称映射的对称化是它的两倍,交错映射的对称化是0;相似地,对称映射的反对称化是0,反对称映射的反对称化是它的两倍。

双线性形式

双线性映射的(反)对称化是双线性的,因此若2是可逆元,双线性形式是对称形式与斜对称形式之和,对称形式与二次型之间没有区别。 2时,并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如,整数上,相关的对称形式(有理数上)可能取半整数值,而在 上,当且仅当函数是对称的( ),才是斜对称的。

这就引出了ε-二次型与ε-对称形式的概念。

表示论

表示论的术语来说:

  • 交换变量可得对称群在二元函数空间上的表示。
  • 对称与反对称函数是对应于平凡表示与符号表示的子表示
  • 对称化与饭对称化将函数映射到子表示中。若除以2,就会产生射影映射。

由于2阶对称群等于2阶循环群 ),这相当于2阶离散傅立叶变换

n

给定n元函数,可通过求所有变量的 种排列所得值之和实现对称化[1],通过求所有变量的 偶排列所得值之和减去 奇排列所得值之和实现反对称化 时唯一的排列是偶的)。

当中,对称函数的对称化是原函数乘以 。因此若 可逆,如特征为0的上时,或 ,则这些函数除以 会产生射影。

就表示论而言,这些只产生与平凡表示和符号表示相对应的子表示,但对于 还有其他表示。

自助法

给定k元函数,对变量的k元素子集求和,可得n元对称函数。统计学中,这被称作自助法,相关统计量称作U-统计量

另见

注释

  1. ^ Hazewinkel (1990), p. 344

参考文献