分式理想

在數學中，特別是交換代數中，分式理想的概念是在對整環的研究中所引入的，並且在戴德金整環的研究中得到豐富。類似於通過給整數引入分母而產生了分數，在整環中，分式理想可認為是為理想引入了在某種意義上的分母。在特定上下文中，為了有所區別，環的普通理想常被強調為整理想。

定義和基本結論

設$R$是一個整環，$K$是其分式域。$R$的分式理想定義為$K$ 的一個$R$-子模$I$，使得存在一個非零的$r\in R$，滿足$rI\subset R$。$r$可以被認為是子模$I$的「分母」，如果一個分式理想可由$K$的單個元素生成，則稱為主分式理想。分式理想$I$包含於$R$，若且唯若$I$是$R$的整理想。

給定整環$R$，$R$的一個分式理想$I$被稱為是可逆的，如果存在另一個分式理想$J$，使得$IJ=R$。（這裏，$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{i}\in J,n=0,1,2,\dots \}$被稱為兩個分式理想的積）。$R$的全體可逆分式理想按理想的求積運算，形成一個阿貝爾群，稱為$R$的分式理想群；其單位元是$R$的單位理想，即$R$本身。$R$的全體主分式理想，形成一個分式理想群的子群。$R$的一個（非零）分式理想是可逆的，若且唯若它是作為一個$R$模是投射的。

$K$的每個有限生成$R$-子模都是$R$的分式理想。進一步，如果$R$是諾特的，則這些就是$R$的全部分式理想。

戴德金整環

在戴德金整環中，上面的理論更為簡單。特別地，戴德金整環的每個分式理想都是可逆的。事實上，這也是刻畫戴德金整環的特徵：一個整環是戴德金整環，若且唯若它的的每個非零分式理想都可逆。

在戴德金整環中，分式理想群模去主分式理想群所得到的商群是這個戴德金整環的重要不變量，稱為它的理想類群。引入分式理想的一部分原因就是為了說明理想類群確實是個商群，這比通過特別地定義理想類的乘法運算來構造理想類群要更自然。

除子理想

設${\tilde {I}}$為$R$的所有包含$I$的主分式理想的交集，則：

${\tilde {I}}=(R:(R:I))$

其中

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}$ 為理想的商。

如果${\tilde {I}}=I$，則稱$I$為除子理想。如果$I$是除子理想，且$J$是非零素理想， 則$(I:J)$ 也是除子理想。

一個整環稱為Mori 整環， 如果其全體除子理想的集合滿足升鏈條件。

參考文獻

• Chapter 9 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994, ISBN 978-0-201-40751-8 
• Chapter VII.1 of Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra 2nd, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-64239-0 
• Chapter 11 of Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8 2nd, Cambridge University Press, 1989, ISBN 978-0-521-36764-6, MR1011461