理想類群

理想類群(英語:Ideal class group)是代數數論的基本對象之一,簡稱類群

一個代数数域K的理想类群是形如 JK /PK商群; 此处JK 是代数数域K整数环的所有分式理想构成的; 而PK是这个群的子群,包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。
理想类群在一定程度上可以测量K整数环算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时,代数数域K整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

形式定義

 戴德金整環。此時   中的非零理想對乘法構成一個交換么半群

今將定義其上的等價關係:設   為二非零理想,定義

 

理想么半群對此關係的商構成一個交換群  ,稱為   的理想類群。

另一套進路是考慮   的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想   之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質

  • 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環
  •   為數域,  為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明   是有限群。其元素個數記為  ,稱作類數。

例子

考慮二次域  。考慮理想

 

易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群