集值函數

集值函數（set-valued function），或對應（correspondence）是一種函數，將一個集合（定義域）中的元素映射到另一集合的子集。集值函數見於眾多數學領域，如最優化、控制理論與博弈論等。

有些文獻將集值函數稱作多值函數，^[1]但在本文和數學分析的其他文獻中，多值函數指的是具有連續性的集值函數f，也就是說在集合 $f(x)$ 中選擇一個元素，就會在接近x的y的每個集合 $f(y)$ 中確定一個相應的元素，從而局部確定了一個普通函數。

例子

函數的極值點一般來說是多值的。例如， $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$ .

集值分析

集值分析以數學分析與點集拓撲學的精神研究集合。

與只考慮點的集合不同，集值分析考慮的是集合的集合。若集合被賦予拓撲或從底拓撲空間集成了適當的拓撲，就可以研究其收斂性。

大部分集值分析通過數理經濟學和最優控制的研究產生，部分是作為凸分析的推廣。Tyrrell Rockafellar、Roger J-B Wets、Jonathan Borwein、Adrian Lewis、Boris Mordukhovich等人用「變分分析」指代。在優化理論中，近似次導數向次導數的收斂，對於理解最小化點的必要或充分條件非常重要。

點值分析中以下概念可以推廣到集值分析中：連續性、微分、積分、^[2]隱函數定理、壓縮映射、測度、不動點定理、^[3]最優化與拓撲度定理。其中，方程被推廣為包含（inclusion），微分方程被推廣為微分包含式。

可以區分連續性的多種推廣，如閉圖性與上下擬弱連續性^[a]。此外還有各種將測度推廣為多函數的方法。

應用

集值函數見於優化控制，特別是微分包含式及博弈論等領域，其中集值函數的角谷不動點定理已被用於證明納什均衡的存在性。這與通過連續函數逼近上半連續函數的很多其他性質鬆散地聯繫起來，解釋了為什麼上半連續性更受歡迎。

但正如米歇爾選擇定理指出的，下半連續多函數常有連續選擇，提供了仿緊空間的另一個特徵。^[4]^[5]Bressan-Colombo定向連續選擇、Kuratowski與Ryll-Nardzewski可測選擇定理、Aumann可測選擇、可分解映射Fryszkowski選擇之類的其他選擇定理在最優控制和微分包含式中都很重要。

註釋

^ 有人用「半連續性」。

參考文獻

^ Repovš, Dušan. Continuous selections of multivalued mappings. Pavel Vladimirovič. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic. 1998. ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.
^ Aumann, Robert J. Integrals of Set-Valued Functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1965, 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1  .
^ Kakutani, Shizuo. A generalization of Brouwer's fixed point theorem. Duke Mathematical Journal. 1941, 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
^ Ernest Michael. Continuous Selections. I (PDF). Annals of Mathematics. Second Series. Mar 1956, 63 (2): 361–382 [2024-03-08]. JSTOR 1969615. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03）.
^ Dušan Repovš; P.V. Semenov. Ernest Michael and theory of continuous selections. Topology Appl. 2008, 155 (8): 755–763. S2CID 14509315. arXiv:0803.4473  . doi:10.1016/j.topol.2006.06.011.

閱讀更多

K. Deimling, Multivalued Differential Equations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Walter de Gruyter, 1992
C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres and L. Górniewicz, Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis, World Scientific, Singapore, 2008
Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions. Demonstratio Mathematica. 2013, 46 (4): 655–662. doi:10.1515/dema-2013-0483  .

另見

[4] 有人用「半連續性」。

[1] Repovš, Dušan. Continuous selections of multivalued mappings. Pavel Vladimirovič. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic. 1998. ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.

[2] Aumann, Robert J. Integrals of Set-Valued Functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1965, 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1  .

[kakutani-3] Kakutani, Shizuo. A generalization of Brouwer's fixed point theorem. Duke Mathematical Journal. 1941, 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.

[5] Ernest Michael. Continuous Selections. I (PDF). Annals of Mathematics. Second Series. Mar 1956, 63 (2): 361–382 [2024-03-08]. JSTOR 1969615. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03）.

[6] Dušan Repovš; P.V. Semenov. Ernest Michael and theory of continuous selections. Topology Appl. 2008, 155 (8): 755–763. S2CID 14509315. arXiv:0803.4473  . doi:10.1016/j.topol.2006.06.011.

[1]

[2]

[3]

[a]

[4]

[5]