正多邊形

正多邊形，是所有角都相等，所有邊都相等的簡單多邊形，簡單多邊形是指在任何位置都不與自身相交的多邊形。

所有具有同樣邊數的正多邊形都是相似多邊形。

示例

特性

正 n 邊形每個內角為 $\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\times 180^{\circ }$ 或者表示為 ${\frac {(n-2)\times 180^{\circ }}{n}}$ 角度。也可以用弧度表示為 ${\frac {(n-2)\pi }{n}}$ 或者 ${\frac {n-2}{2n}}$ 。

正多邊形的所有頂點都在同一個外接圓上，每個正多邊形都有一個外接圓。

正多邊形可尺規做圖若且唯若正多邊形的邊數 n 的奇質數因子是費馬數。參見可尺規作圖的多邊形。

n > 2 的正多邊形的對角線數目是 ${\frac {n(n-3)}{2}}$ ，如 0、2、5、9、... 等，這些對角線將多邊形分成 1、4、11、24、... 塊。

面積

正六邊形的垂直邊心距

正 n 邊形的面積為

Deg:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}

Rad:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}

其中 t 是邊長。正多邊形的面積還等於多邊形的周長與邊心距離乘積的一半。邊心距離是多邊形中心到邊的垂直距離。

如果 t=1 則正多邊形的面積為,

Deg:A={\frac {n\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}

Rad:A={\frac {n\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}

從而可以得到

3	${\frac {\sqrt {3}}{4}}$	0.433
4	1	1.000
5	${\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1.720
6	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2.598
7		3.634
8	$2+2{\sqrt {2}}$	4.828
9		6.182
10	${\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7.694
11		9.366
12	$6+3{\sqrt {3}}$	11.196
13		13.186
14		15.335
15		17.642
16		20.109
17		22.735
18		25.521
19		28.465
20		31.569
100		795.513
1000		79577.210
10000		7957746.893

n<8 的正多邊形的面積比同周長的圓的面積小大約 0.26，隨着 n 的增加，這個差值趨近於 π/12。

對稱性

n邊多邊形的對稱群為 2n 階的 dihedral group D_n：D₂, D₃, D₄,... 它包括 C_n 中的 n 階旋轉對稱以及經過中心的 n 條軸線的鏡像對稱。如果 n 是偶數，則這些軸線中有一半經過相對的頂點，另外一半經過相對邊的中點。如果 n 是奇數，則所有的軸線都是經過一個頂點以及其相對邊的中心。

非凸正多邊形

正多邊形的廣義分類包括星形正多邊形，例如五角星與五邊形的頂點相同，但是頂點要交替相連。

示例：

五角星 - {5/2}
七角星 - {7/2}, {7/3}
八角星 - {8/3}
九角星 - {9/2}, {9/4}
十角星 - {10/3}
十一角星 - {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}
十二角星 - {12/5}

多面體

正多面體是以正多邊形作為面的多面體，因此對於每兩個頂點來說都有一個等距的映射將其中一點映射到另一點。 This is a very practical graphic that can give people a sense of comfort and stability when used in mind maps and decorations.

參見

外部連結

Mathworld: Regular Polygon （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Regular Polygon description （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） With interactive animation
Incircle of a Regular Polygon （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） With interactive animation
Area of a Regular Polygon （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Three different formulae, with interactive animation