數學中,張量積,記為 ,可以應用於不同的上下文中如向量矩陣張量向量空間代數拓撲向量空間。在各種情況下這個符號的意義是同樣的:最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積

例子:

結果的為2、維數為 4×3 = 12。

這裏的秩指的是「張量秩」(所需指標數),而維數計算在結果數組(陣列)中自由度的數目;矩陣的秩是 2。

代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形數組的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積

兩個張量的張量積

有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如,如果 UV 是秩分別為 nm 的兩個協變張量,則它們的張量積的分量給出為

 [1]

所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。

注意在張量積中,因子 V 消耗前 rank(V) 個指標,而因子 U 再消耗 rank(U) 個指標,所以

 

例子

U 是類型 (1,1) 的張量,帶有分量 Uαβ;並設 V 是類型 (1,0) 的張量,帶有分量 Vγ。則

 

 

張量積繼承它的因子的所有指標。

兩個矩陣的克羅內克積

對於矩陣這個運算通常叫做克羅內克積,用來明確結果有特定塊結構在其上,其中第一個矩陣的每個元素被替代為這個元素與第二個矩陣的積。對於矩陣   :

 

多重線性映射的張量積

給定多重線性映射    它們的張量積是多重線性函數

 

向量空間的張量積

在域   上的兩個向量空間 VW 的張量積   有通過「生成元和關係」的方法的形式定義。在這些   的關係下的等價類被叫做「張量」並指示為  。通過構造,可以證明在張量之間的多個恆等式並形成張量的代數。

要構造  ,採用在   之上帶有基   的向量空間,並應用(因子化所生成的子空間)下列多線性關係:

  •  
  •  
  •  

這裏的   是來自適當空間的向量,而   來自底層域  

我們可以推出恆等式

 

零在   中。

結果的張量積   自身是向量空間,它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定 VW  ,形如   的張量形成   的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積;例如   有維數  

張量積的泛性質

張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性映射 φ 把笛卡爾積 V × W 嵌入到向量空間 X 的問題。張量積構造 VW 與給出自

 

的自然嵌入映射 φ : V × WVW 一起是這個問題在如下意義上的「泛」解。對於任何其他這種對(X, ψ),這裏的 X 是向量空間,而 ψ 是雙線性映射 V × WX,則存在一個唯一的線性映射

 

使得

 

假定這個泛性質,張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。

直接推論是從 V × WX 的雙線性映射

 

和線性映射

 

的同一性。它是 ψT 的自然同構映射。

希爾伯特空間的張量積

兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間,其定義如下。

定義

   是兩個希爾伯特空間,分別帶有內積   。構造 H1H2 的張量積 如下:

考慮他們的作為線性空間的張量積   上的內積自然地擴展到 上:

由內積的雙線性(Bilinearity),只需定義

 

其中    即可。

現在 是一未必完備的內積空間。將 完備化,得到希爾伯特空間 ,這就是 H1H2作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中, 具有如前所述的泛性質,即它是二者在該範疇內的乘積。

性質

如果 H1H2 分別有正交基k} 和 {ψl},則 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。

與對偶空間的關係

在泛性質的討論中,替代 XVW 的底層純量域生成空間   對偶空間,包含在那個空間上的所有線性泛函),它自然的同一於在   上所有雙線性函數的空間。換句或說,所有雙線性泛函是在張量積上的泛函,反之亦然。

只要    是有限維的,在    之間有一個自然的同構,而對於任意維的向量空間我們只有一個包含  。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法,把雙線性泛函看做張量積自身。

註解

  1. ^ 類似的公式對反變以及混合型張量也成立。儘管許多情形,比如定義了一個內積,這種區分是無關的。

參見