双线性映射

在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义

设 $V$ , $W$ 和 $X$ 是在同一个基础域 $F$ 上的三个向量空间。双线性映射是函数

B:V\times W\rightarrow X

使得对于任何 $W$ 中 $w$ ，映射

v\mapsto B\left(v,w\right)

是从 $V$ 到 $X$ 的线性映射，并且对于任何 $V$ 中的 $v$ ，映射

w\mapsto B(v,w)

是从 $W$ 到 $X$ 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 $V=W$ 并且有 $B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)$ 对于所有 $V$ 中的 $v,w$ ，则我们称 $B$ 是对称的。

当这里的 $X$ 是 $F$ 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环 $R$ 上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 $n$ 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 $R$ 和右模 $M_{R}$ 与左模 $_{R}N$ 的情况，我们可以定义双线性映射 $B:M\times N\rightarrow T$ ，这里的 $T$ 是阿贝尔环，使得对于任何 $N$ 中的 $n,m\mapsto B\left(m,n\right)$ 是群同态，而对于任何 $M$ 中的 $m,n\mapsto B\left(m,n\right)$ 是群同态，并还满足

B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)

对于所有的 $M$ 中的 $m$ ， $N$ 中 $n$ 和 $R$ 中的 $t$ 。

定义 $V$ , $W$ , $X$ 是有限维的，则 $L\left(V,W;X\right)$ 也是有限维的。对于 $X=F$ 就是双线性形式，这个空间的维度是 $\dim V\times \dim W$ （尽管线性形式的空间 $L\left(V\times W;K\right)$ 的维度是 $\dim V+\dim W$ ）。看得出来，选择 $V$ 和 $W$ 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 $B(e_{i},f_{j})$ ，反之亦然。现在，如果 $X$ 是更高维的空间，我们明显的有 $\dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X$ 。

例子

矩阵乘法是双线性映射 $M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$ 。
如果在实数 $\mathbb {R}$ 上的向量空间 $V$ 承载了内积，则内积是双线性映射 $V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ 。
一般的说，对于在域 $F$ 上的向量空间 $V$ ，在 $V$ 上的双线性形式同于双线性映射 $V\times V\rightarrow F$ 。
如果 $V$ 是有对偶空间 $V^{*}$ 的向量空间，则应用算子 $b(f,v)=f(v)$ 是从 $V^{*}\times V$ 到基础域的双线性映射。
设 $V$ 和 $W$ 是在同一个基础域 $F$ 上的向量空间。如果 $f$ 是 $V^{*}$ 的成员而 $g$ 是 $W^{*}$ 的成员，则 $b(v,w)=f(v)g(w)$ 定义双线性映射 $V\times W\rightarrow F$ 。
在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中叉积是双线性映射 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 。
设 $B:V\times W\rightarrow X$ 是双线性映射，而 $L:U\rightarrow W$ 是线性算子，则 $(v,u)\rightarrow B(v,Lu)$ 是在 $V\times U$ 上的双线性映射。
零映射，定义于 $B(v,w)=o$ 对于所有 $V\times W$ 中的 $(v,w)$ ，是从 $V\times W$ 到 $X$ 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果 $(v,w)\in V\times W$ ，则 $B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o$ 。

参见