對稱函數環

代數組合學中,對稱函數環n趨近於無窮大時,n對稱多項式的特定極限。此環是一種通用結構,其中對稱多項式間的關係可用一種與n無關的方式表達(但其元素不是多項式也不是函數)。此環也在對稱群表示論中起着重要作用。

對稱函數環可給出余積雙線性形式,使其成為正定自伴分次霍普夫代數,其是交換的也是余交換的。

對稱多項式

對稱函數研究以對稱多項式為基礎。多項式環中,在變量的某有限集中,若變量的順序不會影響多項式的值,則稱多項式是對稱的。更形式地說,在n元多項式環上有對稱群 環同態作用,其中排列對多項式的作用是根據所用的置換,同時將變量替換成另一個。這作用的不變量構成對稱多項式子環。若變量是 ,則這種對稱多項式的例子是

 
 
 

稍微複雜一點,

 

其中求和包含某變量的立方與另兩個變量之積(所有變量)。對稱多項式有很多種,如基本對稱多項式次方和對稱多項式單項對稱多項式完備齊次對稱多項式舒爾多項式等等。

對稱多項式環

對稱多項式之間的關係往往不取決於n,只是關係中的某些多項式可能需要足夠大的n才能定義。例如,多項式立方和 牛頓恆等式導致

 

其中 表示基本對稱多項式。此式對所有自然數n都成立,唯一值得注意的是, 時, 。可以將其表為方程

 

其與n無關,且在對稱函數環中成立。環中,對所有整數 有非零元 ,且環中任何元素都可用元素 的多項式表達式給出。

定義

對稱多項式環可定義在任意交換環R上,可記作 。基本情形是 。環 實際上是分次R-代數,有兩種主要構造,下面給出第一種,可見於(Stanley, 1999),第二種可見於(Macdonald, 1979)。

作為形式冪級數環

最簡單(仍有點繁瑣)的構造始於R上的(可數)無窮多元形式冪級數環 。此冪級數環的元素形式上是無窮級數,包含R中係數乘以單項式,後者是有限多變量的有限次冪之積。將 定義為由滿足以下條件的冪級數S組成的子環:

  1. S在變量的任何排列下都不變;
  2. S中單項式次數有界。

注意,由於第二個條件,此處冪級數只是為了允許無窮多一定次數的項,而非所有可能次數的項。允許這樣做是必要的,比方說,包含項 的元素為維持對稱性也應包含項 。不同於整個冪級數環,子環 按單項式的總次數分次:由於條件2, 中的所有元素都是 齊次元素的有限和(其本身是等次項的無限和)。對所有 ,元素 被定義為k個不同變量所有積的形式和,這顯然是k次齊次的。

另見

參考文獻

  • Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
  • Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
  • Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).