對稱函數環

代數組合學中，對稱函數環是n趨近於無窮大時，n元對稱多項式環的特定極限。此環是一種通用結構，其中對稱多項式間的關係可用一種與n無關的方式表達（但其元素不是多項式也不是函數）。此環也在對稱群表示論中起着重要作用。

對稱函數環可給出余積和雙線性形式，使其成為正定自伴分次霍普夫代數，其是交換的也是余交換的。

對稱多項式

主條目：對稱多項式

對稱函數研究以對稱多項式為基礎。多項式環中，在變量的某有限集中，若變量的順序不會影響多項式的值，則稱多項式是對稱的。更形式地說，在n元多項式環上有對稱群$S_{n}$的環同態作用，其中排列對多項式的作用是根據所用的置換，同時將變量替換成另一個。這作用的不變量構成對稱多項式子環。若變量是$X_{1},\dots ,\ X_{n}$，則這種對稱多項式的例子是

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

稍微複雜一點，

$X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{2}^{3}X_{4}+X_{1}X_{2}X_{4}^{3}+\dots$

其中求和包含某變量的立方與另兩個變量之積（所有變量）。對稱多項式有很多種，如基本對稱多項式、次方和對稱多項式、單項對稱多項式、完備齊次對稱多項式、舒爾多項式等等。

對稱多項式環

對稱多項式之間的關係往往不取決於n，只是關係中的某些多項式可能需要足夠大的n才能定義。例如，多項式立方和$p_{3}$的牛頓恆等式導致

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

其中$e_{i}$表示基本對稱多項式。此式對所有自然數n都成立，唯一值得注意的是，$n<k$時，$e_{k}(X_{1},\ \dots ,\ X_{n})=0$。可以將其表為方程

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

其與n無關，且在對稱函數環中成立。環中，對所有整數$k\geq 1$有非零元$e_{k}$，且環中任何元素都可用元素$e_{k}$的多項式表達式給出。

定義

對稱多項式環可定義在任意交換環R上，可記作$\Lambda _{R}$。基本情形是$R=\mathbb {Z}$。環$\Lambda _{R}$實際上是分次R-代數，有兩種主要構造，下面給出第一種，可見於(Stanley, 1999)，第二種可見於(Macdonald, 1979)。

作為形式冪級數環

最簡單（仍有點繁瑣）的構造始於R上的（可數）無窮多元形式冪級數環$R[[X_{1},X_{2},...]]$。此冪級數環的元素形式上是無窮級數，包含R中係數乘以單項式，後者是有限多變量的有限次冪之積。將$\Lambda _{R}$定義為由滿足以下條件的冪級數S組成的子環：

1. S在變量的任何排列下都不變；
2. S中單項式次數有界。

注意，由於第二個條件，此處冪級數只是為了允許無窮多一定次數的項，而非所有可能次數的項。允許這樣做是必要的，比方說，包含項$X_{1}$的元素為維持對稱性也應包含項$X_{i}\ (i>1)$。不同於整個冪級數環，子環$\Lambda _{R}$按單項式的總次數分次：由於條件2，$\Lambda _{R}$中的所有元素都是$\Lambda _{R}$中齊次元素的有限和（其本身是等次項的無限和）。對所有$k\geq 0$，元素$e_{k}\in \Lambda _{R}$被定義為k個不同變量所有積的形式和，這顯然是k次齊次的。

另見

• 牛頓恆等式
• 准對稱函數

參考文獻

• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
• Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).