關於冪的數學運算

數學中,重複連乘的運算叫做乘方,乘方的結果稱為 [1](英語:mathematical power,power);由此,若 正整數 個相同的數 連續相乘(即 自乘 次),就可將 看作乘方的結果 ——「冪」。

bn
記號
底數 與 指數

冪運算exponentiation)又稱指數運算取冪[2],是數學運算表達式,讀作「 次方」或「 次冪」。其中, 稱為底數,而 稱為指數,通常指數寫成上標,放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況,例如在編程語言電子郵件中, 通常寫成 b^nb**n;也可視為超運算,記為 b[3]n;亦可以用高德納箭號表示法,寫成 b↑n

當指數為 1 時,通常不寫出來,因為運算出的值和底數的數值一樣;指數為 2 時,可以讀作「平方」;指數為 3 時,可以讀作「立方」。

由於在十進制中,十的冪很容易計算,只需在後面加零即可,所以科學記數法藉此簡化記錄的數字;二的冪則在計算機科學中相當重要。

起始值 1(乘法的單位元)乘上底數()自乘指數()這麼多次[需要解釋]。這樣定義了後,很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況:指數是零時,底數不為零,冪均為一(即除 0 外,所有數的 0 次方都是 1 );指數是負數時,就等於重複除以底數(或底數的倒數自乘指數這麼多次),即:

若以分數為指數的冪,則定義:

次方再開 方根

0的0次方)目前沒有數學家給予正式的定義;在部分數學領域中,如組合數學,常用的慣例是定義為 1 。

此外,當 複數,且 是正實數時,

exp 是指數函數,而 ln 是自然對數

重要的恆等式

運算法則

  • 同底數冪相乘,底數不變,指數相加:
 
  • 同底數冪相除,底數不變,指數相減:
 
  • 同指數冪相除,指數不變,底數相除( 不為0):
 

其他等式

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運算律

加法和乘法存在交換律,比如:  ,但是冪的運算不存在交換律, ,但是 

同樣,加法和乘法存在結合律,比如:  。不過,冪運算沒有結合律: ,而 ,所以 

但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律

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整數指數冪

整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。

正整數指數冪

表達式 被稱作 平方,因為邊長為 的正方形面積是 

表達式 被稱作 立方,因為邊長為 的正方體體積是 

所以 讀作「3的平方」, 讀作「2的立方」。

指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如 ,指數是5,底數是3,表示3反覆相乘5次。

或者,整數指數冪可以遞歸地定義成:

 

指數是1或者0

注意 表示僅僅1個3的乘積,就等於3。

注意    

繼續,得到 ,所以 

另一個得到此結論的方法是:通過運算法則 

 時, 

  • 任何數的1次方是它本身。

零的零次方

  其實還並未被數學家完整的定義,但部分看法是  ,在程式語言中(python)  

在這裏給出這一種極限的看法

  於是,可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值,如圖

負數指數

我們定義任何不為 0 的數 a -1 次方等於它的倒數。

 

對於非零 定義

 ,

 時分母為 0 沒有意義。

證法一:

根據定義 ,當 

 

 , 所以 

證法二:

通過運算法則 

 時,可得 

負數指數 還可以表示成1連續除以  。比如:

 .

特殊數的冪

10的冪

十進制的計數系統中,10的冪寫成1後面跟着很多個0。例如: 

因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如:299,792,458(真空中光速,單位是米每秒),可以寫成  近似值   

國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字,比如:詞頭「千」就是  ,詞頭「毫」就是  

2的冪

1的冪

1的任何次冪都為1。

0的冪

0的正數冪都等於0。

0的負數冪沒有定義。

任何非0之數的0次方都是1;而0的0次方是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。[4]也有人主張定義為1。

負1的冪

-1的奇數冪等於-1

-1的偶數冪等於1

指數非常大時的冪

一個大於1的數的冪趨於無窮大,一個小於-1的數的冪趨於負無窮大

   
     , (視乎n 是奇數或偶數)

一個絕對值小於1的數的冪趨於0

   

1的冪永遠都是1

   

如果數a趨於1而它的冪趨於無窮,那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是:

 

參見e的冪

其他指數的極限參見冪的極限

正實數的實數冪

一個正實數的實數冪可以通過兩種方法實現。

  • 有理數冪可以通過N次方根定義,任何非0實數次冪都可以這樣定義
  • 自然對數可以被用來通過指數函數定義實數冪

N次方根

 
從上到下: 

一個  次方根是  使 

如果 是一個正實數, 是正整數,那麼方程 只有一個正實數。 這個根被稱為  次方根,記作: ,其中 叫做根號。或者,  次方根也可以寫成 . 例如 

當指數是 時根號上的2可以省略,如: 

有理數冪

有理數指數冪定義為

 

e的冪

這個重要的數學常數e,有時叫做歐拉數,近似2.718,是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。 它是從以下極限定義的:

 

指數函數的定義是:

 

可以很簡單地證明e的正整數k次方 是:

 
 
 
 

實數指數冪

 
y = bx對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因為所有實數可以近似地表示為有理數,任意實數指數x可以定義成[5]

 

例如:

 

於是

 

實數指數冪通常使用對數來定義,而不是近似有理數。

自然對數 是指數函數 反函數。 它的定義是:對於任意 ,滿足

 

根據對數和指數運算的規則:

 

這就是實數指數冪的定義:

 

實數指數冪 的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數,這種定義更加常用。

負實數的實數冪

如果 是負數且 偶數,那麼 是正數。如果 是負數且 奇數,那麼 是負數。

使用對數和有理數指數都不能將 (其中 是負實數, 實數)定義成實數。在一些特殊情況下,給出一個定義是可行的:負指數的整數指數冪是實數,有理數指數冪對於  是奇數)可以使用 次方根來計算,但是因為沒有實數 使 ,對於  是偶數)時必須使用虛數單位 

使用對數的方法不能定義 時的 為實數。實際上, 對於任何實數 都是正的,所以 對於負數沒有意義。

使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數 因為它依賴於連續性。函數 對於任何正的有理數 是連續的,但是對於負數 ,函數 在有些有理數 上甚至不是連續的。

例如:當 ,它的奇數次根等於-1。所以如果 是正奇數整數,  是奇數,  是偶數。雖然有理數 使 集合稠密集,但是有理數 使 集合也是。所以函數 在有理數體不是連續的。

因此,如果要求負實數的任意實數冪,必須將底數和指數看成複數,按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。

正實數的複數冪

e的虛數次冪

 
指數函數ez可以通過(1 + z/N)NN趨於無窮大時的極限來定義,那麼e就是(1 + /N)N的極限。在這個動畫中n從1取到100。(1 + /N)N的值通過N重複增加在複數平面上展示,最終結果就是(1 + /N)N的準確值。可以看出,隨着N的增大,(1 + /N)N逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式

複數運算的幾何意義和e的冪可以幫助我們理解  是實數),即純虛數指數函數。想像一個直角三角形 (括號內是複數平面內三角形的三個頂點),對於足夠大的 ,這個三角形可以看作一個扇形,這個扇形的中心角就等於 弧度。對於所有 ,三角形 互為相似三角形。所以當 足夠大時 的極限是複數平面上的單位圓 弧度的點。這個點的極坐標 直角坐標 。所以 ,而這個函數可以稱為純虛數指數函數。這就是歐拉公式,它通過複數的意義將代數學三角學聯繫起來了。

等式 的解是一個整數乘以 [6]

 

更一般地,如果 ,那麼 的每一個解都可以通過將 的整數倍加上 得到:

 

這個複指數函數是一個有週期 週期函數

更簡單的: 

三角函數

根據歐拉公式三角函數餘弦和正弦是:

 

歷史上,在複數發明之前,餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程

 

使用了複數指數冪之後,很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。

e的複數指數冪

 可以分解成 。其中   決定了 的方向

正實數的複數冪

如果 是一個正實數, 是任何複數, 定義成 ,其中 是方程 的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。

例如:

 
 
 
 

複數的複數冪

複數的虛數冪

讓我們從一個簡單的例子開始:計算 

 

其中 的得法參見上文正實數的複數冪

複數的複數冪

類似地,在計算複數的複數冪時,我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算 

 

一般情況

複數的複數冪必須首先化為底數為 的形式:

 

又,由複數的極坐標表示法:

 

 

然後,使用歐拉公式處理即可。

由於複數的極坐標表示法中,輻角 的取值是具有週期性的,因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數。不過實際應用中,為了簡便起見,輻角都只取主值,從而使冪值唯一。

函數

當函數名後有上標的數(即函數的指數),一般指要重複它的運算。例如  。特別地,  反函數

三角函數的情況有所不同,一個正指數應用於函數的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時則表示其反函數。例如: 表示 。因此在三角函數時,使用 來表示 的反函數 

計算自然數(正整數)的算法

最快的方式計算 ,當 是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的,和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。

C/C++語言中,你可以寫如下算法:

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的時間複雜度 ,比普通算法快(a自乘100次,時間複雜度 ),在 較大的時候更為顯著。

例如計算 ,普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次。若要計算 可先以上述算法計算 ,再作倒數。

另見

註釋

  1. ^ 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江蘇敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘為冪 
  2. ^ 存档副本. [2022-10-21]. (原始內容存檔於2022-10-22). 
  3. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  4. ^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
  5. ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  6. ^ This definition of a principal root of unity can be found in:

外部連結