亨澤爾引理

亨澤爾引理(英語:Hensel's Lemma)是數學模算術的一個結論。亨澤爾引理說明,如果一個pp是給定的質數)的多項式方程有一個單根,則可以通過這個根求出該方程在模p的更高次方時的根。在完備交換環(包括p進數)中,亨澤爾引理被看作是類似於牛頓法的漸進求根方法。由於p進數分析在某些方面比實分析更加簡單,亨澤爾引理可以加強為多項式方程有根的判定方法。

定理內容

 系數多項式 為不少於2的整數, 質數。若整數 是下面同餘式的根:

 

對於

  (I)

,則有:

  •  ,則存在唯一的整數 使得(I)成立。
 
  •    ,則(I)對任意整數t成立。
  •   ,則(I)無整數解。

證明

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

 

因此可見,由第三項開始,都必能被 整除。因此:

 

推廣

 為完備局域。設   的整數環,設 為系數在  的多項式,若存在  使得

 

 有根 

且:

  1.   趨近 
  2.  

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考