亨泽尔引理

亨泽尔引理(英语:Hensel's Lemma)是数学模算术的一个结论。亨泽尔引理说明,如果一个pp是给定的质数)的多项式方程有一个单根,则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环(包括p进数)中,亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单,亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容

 系数多项式 为不少于2的整数, 质数。若整数 是下面同馀式的根:

 

对于

  (I)

,则有:

  •  ,则存在唯一的整数 使得(I)成立。
 
  •    ,则(I)对任意整数t成立。
  •   ,则(I)无整数解。

证明

亨泽尔引理可用泰勒公式证明。

 

因此可见,由第三项开始,都必能被 整除。因此:

 

推广

 为完备局域。设   的整数环,设 为系数在  的多项式,若存在  使得

 

 有根 

且:

  1.   趋近 
  2.  

这个引理其中一个重要应用就是在域为p进数的情形。

参考