使用者:NtuEEsaber/沙盒
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數學上,雷登變換是一種積分變換,這個轉換將函數 轉換成一個定義在二維空間上的函數,而在某線上的值等於對該條線做線積分的值,
雷登變換是Johann Radon在西元1917年提出[1],他也同時提出雷登轉換的反轉換公式,以及三次空間的雷登變換公式。 三次空間雷登變換,是對一個平面積分(對線積分則是X-ray transform)。而在不久之後,更高維度的歐幾里得空間的雷登轉換被提出,更詳盡的廣義雷登轉換要查Integral geometry。 在複數上有和雷登轉換相似的Penrose transform,雷登轉換被廣泛的應用在斷層掃描,從斷層掃描的剖面圖重建出投影的資料。
簡介
若函數 表示一個未知的密度,對 做雷登轉換,相當於得到 投影後的訊號,舉例來說: 相當於人體組織;斷層掃描的輸出訊號相當於經過雷登轉換的 。 因此,可以用雷登反轉換從投影後的密度函數,重建原始的密度函數,它也是重建斷層掃描的數學理論基礎,另一個被廣為人知名詞的是三維重建。
雷登轉換後的訊號稱作"正弦圖",因為一個偏離中心的點的雷登轉換是一個正弦曲線。所以對一些小點的雷登轉換,會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。
雷登轉換可以應用在:X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、macromolecular assemblies的電子顯微鏡例如:病毒、Reflection seismology、蛋白質複合體,而且也是雙曲線 偏微分方程的解。
定義
令密度函數 是一個的定義域為 的緊緻台(compact support)。令 為雷登轉換的運算子(operator),則 是一個定義在 一條在 的直線 L,它的定義如下
對於一個弧長 的線,可以把直線 變成一個參數式
是直線 和原點的距離,而 是垂直於 的法線和 軸的夾角, 接下來,我們可以把 當作 平面上的新座標系統,把這個座標轉換帶入到雷登變換得到
更進一步,我們可以把 推廣到 ,對一個緊緻台(compact support)的連續函數 ,轉換後的函數 是定義在 的超平面上,
對所有
而 是一個單位向量且屬於 , ,n維的雷登變換可以改寫成定義在 上的函數
也能把仿射子空間,而這種推廣雷登變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描,他的做法是對一條直線積分。
與傅立葉變換的關係
雷登變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是
而雙變數 的傅立葉變換是
把雷登轉換的運算子的表記從 改成 。根據Projection-slice theorem學說,
因此一個初始函數沿著一條線傾角 的二維的傅立葉變換,相當於對雷登轉換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維
對偶轉換
對偶雷登轉換是雷登轉換的埃爾米特伴隨。令在空間 上的函數 ,而對偶雷登轉換的運算子定義為 。作用在 上
積分的範圍是所有和 相交的超平面集合,而測度(measure) 是集合 特殊的機率測度(Probability measure), 當對著 旋轉時, 的值不會改變
對於一個二維的雷登轉換,其對偶轉換是
在影像處理的文章中,對偶轉換經常被稱作反向傳播算法(back propagation) [2], 因為
交結性質
拉普拉斯算子 在
這是一個旋轉不變性的二階微分算子,在空間 ,半徑的二階倒數(second derivative)
也是旋轉不變性。 而雷登轉換與其對偶轉換屬於交結運算子(intertwining operator),是因為
重建方法
重建處理是指從投影影像重建一個影像,或是一個函數 。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。
雷登反轉換公式
對於二維雷登轉換,最常被使用的解析公式(analytical formula) ,是Filtered Backprojection Formula或雷登反轉換公式,反轉換公式為
函數 滿足 [4],卷積核 (convolution kernel) 在一些文章中稱作Ramp filter。
不適定問題 (ill-posedness)
直覺上,反轉換公式應該和微分類似, 。我們可以看的出來反轉換公式 的行為類似微分。大致上來說,這個反轉換公式把目標奇異化(singular);要如何量化雷登反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢?首先可以寫出
即是前面定義的反轉換運算子,且伴隨著(adjoint to)雷登轉換,因此 ,上式變成
複數指數函數 ,是 的固有函數 (eigenfunction) , 而特徵值 (eigenvalue)為 。 的奇異值 (singular values) 是 , 因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0,所以 是無界的(unbounded) [5]。
參見
注釋
- ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917
- ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
參考
- Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983.
- Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854.
- Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3.
- Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2.
- Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
- Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9.
- Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775.
- Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- 埃里克·韋斯坦因. NtuEEsaber/沙盒. MathWorld..