用户:NtuEEsaber/沙盒
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数学上,雷登变换是一种积分变换,这个转换将函数 转换成一个定义在二维空间上的函数,而在某线上的值等于对该条线做线积分的值,
雷登变换是Johann Radon在西元1917年提出[1],他也同时提出雷登转换的反转换公式,以及三次空间的雷登变换公式。 三次空间雷登变换,是对一个平面积分(对线积分则是X-ray transform)。而在不久之后,更高维度的欧几里得空间的雷登转换被提出,更详尽的广义雷登转换要查Integral geometry。 在复数上有和雷登转换相似的Penrose transform,雷登转换被广泛的应用在断层扫描,从断层扫描的剖面图重建出投影的资料。
简介
若函数 表示一个未知的密度,对 做雷登转换,相当于得到 投影后的讯号,举例来说: 相当于人体组织;断层扫描的输出讯号相当于经过雷登转换的 。 因此,可以用雷登反转换从投影后的密度函数,重建原始的密度函数,它也是重建断层扫描的数学理论基础,另一个被广为人知名词的是三维重建。
雷登转换后的讯号称作"正弦图",因为一个偏离中心的点的雷登转换是一个正弦曲线。所以对一些小点的雷登转换,会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。
雷登转换可以应用在:X射线电脑断层扫描、条码扫描器、macromolecular assemblies的电子显微镜例如:病毒、Reflection seismology、蛋白质复合体,而且也是双曲线 偏微分方程的解。
定义
令密度函数 是一个的定义域为 的紧致台(compact support)。令 为雷登转换的运算子(operator),则 是一个定义在 一条在 的直线 L,它的定义如下
对于一个弧长 的线,可以把直线 变成一个参数式
是直线 和原点的距离,而 是垂直于 的法线和 轴的夹角, 接下来,我们可以把 当作 平面上的新座标系统,把这个座标转换带入到雷登变换得到
更进一步,我们可以把 推广到 ,对一个紧致台(compact support)的连续函数 ,转换后的函数 是定义在 的超平面上,
对所有
而 是一个单位向量且属于 , ,n维的雷登变换可以改写成定义在 上的函数
也能把仿射子空间,而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描,他的做法是对一条直线积分。
与傅立叶变换的关系
雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是
而双变数 的傅立叶变换是
把雷登转换的运算子的表记从 改成 。根据Projection-slice theorem学说,
因此一个初始函数沿著一条线倾角 的二维的傅立叶变换,相当于对雷登转换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维
对偶转换
对偶雷登转换是雷登转换的埃尔米特伴随。令在空间 上的函数 ,而对偶雷登转换的运算子定义为 。作用在 上
积分的范围是所有和 相交的超平面集合,而测度(measure) 是集合 特殊的机率测度(Probability measure), 当对著 旋转时, 的值不会改变
对于一个二维的雷登转换,其对偶转换是
在影像处理的文章中,对偶转换经常被称作反向传播算法(back propagation) [2], 因为
交结性质
拉普拉斯算子 在
这是一个旋转不变性的二阶微分算子,在空间 ,半径的二阶倒数(second derivative)
也是旋转不变性。 而雷登转换与其对偶转换属于交结运算子(intertwining operator),是因为
重建方法
重建处理是指从投影影像重建一个影像,或是一个函数 。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。
雷登反转换公式
对于二维雷登转换,最常被使用的解析公式(analytical formula) ,是Filtered Backprojection Formula或雷登反转换公式,反转换公式为
函数 满足 [4],卷积核 (convolution kernel) 在一些文章中称作Ramp filter。
不适定问题 (ill-posedness)
直觉上,反转换公式应该和微分类似, 。我们可以看的出来反转换公式 的行为类似微分。大致上来说,这个反转换公式把目标奇异化(singular);要如何量化雷登反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢?首先可以写出
即是前面定义的反转换运算子,且伴随著(adjoint to)雷登转换,因此 ,上式变成
复数指数函数 ,是 的固有函数 (eigenfunction) , 而特征值 (eigenvalue)为 。 的奇异值 (singular values) 是 , 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0,所以 是无界的(unbounded) [5]。
参见
注释
- ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917
- ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
- ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
参考
- Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983.
- Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854.
- Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3.
- Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2.
- Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
- Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9.
- Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775.
- Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- 埃里克·韦斯坦因. NtuEEsaber/沙盒. MathWorld..