滿射

滿射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱滿射函數或映成函數，一個函數$f:X\rightarrow Y$為滿射，則對於任意的陪域 $Y$ 中的元素 $y$，在函數的定義域 $X$ 中存在一點 $x$ 使得 $f(x)=y$。換句話說，$f$是滿射時，它的值域$f(X)$與陪域$Y$相等，或者，等價地，如果每一個陪域中的元素 $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等於空集合。

例子和反例

函數$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，定義為$g(x)=x^{2}$，不是一個滿射，因為，（舉例）不存在一個實數滿足$x^{2}=-1$。

但是，如果把$g$的陪域限制到只有非負實數，則函數$g$為滿射。這是因為，給定一個任意的非負實數$y$，我們能對$y=x^{2}$求解，得到$x=\pm {\sqrt {y}}$。

雙射（單射與滿射）	單射(one to one)但非滿射
滿射(onto)但非單射	非滿射非單射

性質

根據定義，函數為雙射當且僅當它既是滿射也是單射。

若將定義在$X$上的函數$f$，視為其圖像，即$\{(x,f(x)):x\in X\}$（集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是$f$的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數

函數$g:Y\to X$稱為函數$f:X\to Y$的右逆，意思是$f(g(y))=y$對$Y$的所有元素$y$成立。簡而言之，$g$的效果，可以$f$復原。用文字表示，$g$是$f$的右逆，意思是先做$g$後做$f$的複合$f\circ g$，等於$Y$上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求$g$是$f$的真正反函數，因為另一次序的複合$g\circ f$，不必是$X$的恆等函數。換言之，$f$可以「復原」或「抵消」$g$，但不必被$g$復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若$f:X\to Y$為滿射，$B$為$Y$的子集，則$f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B$，即從預象$f^{\mathrm {pre} }(B)$，可以找回$B$。

右可消去

函數$f:X\to Y$是滿射，當且僅當其為右可消去：給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數$g,h:Y\to Z$，若$g\circ f=h\circ f$，則有$g=h$。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射$f$的右逆$g$也稱為$f$的截面。而有右逆的態射稱為分裂滿態射，是一類特殊的滿態射。

作為二元關係

以$X$為定義域，$Y$為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全右唯一的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由$X$到$Y$的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域

滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若$f:X\to Y$為滿射，則$X$的元素個數必定至少等於$Y$的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明$f$有右逆，即存在函數$g:Y\to X$使得$f(g(y))=y$對$Y$的任意元素$y$成立。滿足此性質的$g$必為單射，故由基數大小比較的定義，有$|Y|\leq |X|$。

特別地，若$X$和$Y$皆是有限，且兩者的元素個數相同，則$f:X\to Y$是滿射當且僅當$f$為單射。

給定兩個集合$X$和$Y$，以$X\leq ^{*}Y$表示「或者$X$為空，或者存在由$Y$至$X$的滿射」。利用選擇公理，可以證明，$X\leq ^{*}Y$和$Y\leq ^{*}X$兩者一起，足以推出$|Y|=|X|$。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解

兩個滿射的複合仍是滿射：若$f$和$g$皆為滿射，且$g$的陪域是$f$的定義域，則$f\circ g$也是滿射。反之，若$f\circ g$為滿，則$f$是滿射，但$g$不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意$h:X\to Z$，都存在滿射$f:X\to Y$和單射$g:Y\to Z$使得$h=g\circ f$，取法如下：定義$Y$為所有原像$h^{\mathrm {pre} }(z)$的集合，其中$z$歷遍$h$的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分$X$。於是，$f$將每個$x$映到包含$x$的原像（此為$Y$的元素），然後$g$再將$Y$的每個元素（形如$h^{\mathrm {pre} }(z)$）映到相應的$z$。則$f$為滿射（因為$Y$中的元素，是原像$h^{\mathrm {pre} }(z)$，且非空，故有某個$x\in h^{\mathrm {pre} }(z)$，所以由$f$的定義有$f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)$），而根據$g$的定義，其為單射。

導出滿射和導出雙射

任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射$f:A\to B$可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：$x\sim y$當且僅當$f(x)=f(y)$。以$A/{\sim }$表示此等價關係下，$A$的等價類的集合。換言之，$A/{\sim }$是$f$所有原像的集合。以$P:A\to A/{\sim }$表示將$x$映到等價類$[x]_{\sim }$的商映射，又設$f_{P}:A/{\sim }\to B$，定義為$f_{P}([x]_{\sim })=f(x)$，則$f=f_{P}\circ P$。由定義知，$P$是滿射，而$f_{P}$是雙射。

相關條目

• 單射
• 雙射

參考文獻

• Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.