李代數 是一個在域 F 上的向量空間
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
二元運算
[
⋅
,
⋅
]
:
g
×
g
→
g
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李括號 ）：
∀
a
,
b
∈
F
,
∀
x
,
y
,
z
∈
g
{\displaystyle \forall a,b\in F,\,\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
[
a
x
+
b
y
,
z
]
=
a
[
x
,
z
]
+
b
[
y
,
z
]
,
[
z
,
a
x
+
b
y
]
=
a
[
z
,
x
]
+
b
[
z
,
y
]
{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}
∀
x
∈
g
{\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}}}
[
x
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,x]=0}
x
,
y
,
z
∈
g
{\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
[
z
,
[
x
,
y
]
]
=
0
{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}
用雙線性來展開李括號
[
x
+
y
,
x
+
y
]
{\displaystyle [x+y,x+y]}
x , y 屬於
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[
x
,
y
]
+
[
y
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }
[
x
,
y
]
=
−
[
y
,
x
]
,
(
∀
x
,
y
∈
g
)
{\displaystyle [x,y]=-[y,x],(\forall x,y\in {\mathfrak {g}})}
(
[
x
−
y
,
x
]
=
−
[
y
,
x
]
=
[
x
−
y
,
x
−
y
+
y
]
=
[
x
−
y
,
y
]
=
[
x
,
y
]
)
{\displaystyle ([x-y,x]=-[y,x]=[x-y,x-y+y]=[x-y,y]=[x,y])}
反過來說，當F 的特徵 不是 2時，反交換律也蘊含交錯性（不過，當特徵為2時，對於任何
x
∈
g
,
2
x
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},2x}
[
x
,
x
]
=
−
[
x
,
x
]
{\displaystyle [x,x]=-[x,x]}
[
x
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,x]=0}
用李括號 表達的乘法不一定符合結合律 。即
[
[
x
,
y
]
,
z
]
{\displaystyle [[x,y],z]}
[
x
,
[
y
,
z
]
]
{\displaystyle [x,[y,z]]}
環 或結合代數。
若某個李代數的元素
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代數的維度則是其作為
F
{\displaystyle F}
元素個數 ，總是小於等於其維度。
可見低維實李代數的分類
1. 如果我們定義李括號等於
0
{\displaystyle 0}
2. 如果選李括號為向量 的叉乘 ，歐幾里得空間
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3. 若一個結合代數
A
{\displaystyle A}
∗
{\displaystyle *}
[
x
,
y
]
=
x
∗
y
−
y
∗
x
{\displaystyle [x,y]=x*y-y*x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
泛包絡代數 。
4. 另一個李代數的重要例子來自於微分幾何 ：可微流形 上的光滑 向量場 在把李導數 作為李括號的時候成為一個無窮維李代數。李導數把向量場
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
方向導數 達成的。這樣，在表達式
(
Y
X
)
(
f
)
{\displaystyle (YX)(f)}
Y
X
{\displaystyle YX}
複合 。然後，李括號
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
[
X
,
Y
]
f
=
(
X
Y
−
Y
X
)
f
{\displaystyle [X,Y]f=(XY-YX)f}
對於流形上的每個光滑函數
f
{\displaystyle f}
這是流形的微分同胚 集合構成的無窮維李群的李代數。
5. 李群 的左不變向量場組成的向量空間在李括號這個操作下是閉的，因而是一個有限維李代數。或者，可以把屬於一個李群的李代數的向量空間看成是該群的幺元的切空間。乘法就是群在幺元的微分的換位子 ，
(
a
,
b
)
↦
a
b
a
−
1
b
−
1
{\displaystyle (a,b)\mapsto aba^{-1}b^{-1}}
6. 作為一個具體的例子，考慮李群
S
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}
1
{\displaystyle 1}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
0
{\displaystyle 0}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
更多李群和它們相應的李代數，請參看李群 條目。
在同樣基域
F
{\displaystyle F}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
同態
ϕ
:
g
→
h
{\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}
F
{\displaystyle F}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)
]
=
ϕ
(
[
x
,
y
]
)
{\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])}
F
{\displaystyle F}
態射 一起，組成了一個範疇 。如果一個同態是雙射 ，它稱為同構 ，而兩個李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
同構 的。對於所有的應用目的，同構的李代數是相同的。
李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
子代數 是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
線性子空間
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
[
x
,
y
]
∈
h
{\displaystyle [x,y]\in {\mathfrak {h}}}
x
,
y
∈
h
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {h}}}
李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
理想 是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
[
a
,
y
]
∈
h
{\displaystyle [a,y]\in {\mathfrak {h}}}
a
∈
g
{\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}}
y
∈
h
{\displaystyle y\in {\mathfrak {h}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
[
x
+
h
,
y
+
h
]
=
[
x
,
y
]
+
h
{\displaystyle [x+{\mathfrak {h}},y+{\mathfrak {h}}]=[x,y]+{\mathfrak {h}}}
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
核 ，而同態基本定理 對於李代數是適用的。
實和復李代數可以分類到某種程度，而這個分類是李群分類的重要一步。每個有限維實或復李代數作為一個唯一的實或復單連通 李群的李代數出現（Ado定理），但是可能有一個以上的群，甚至一個以上的連通群，有這個相同的李代數。例如，群 SO(3)（行列式 值為1的 3×3 正交群）和SU(2) （行列式為1的 2×2 酉矩陣）有相同的李代數，就是 R 3 ，以叉乘為李括號。
李代數是「交換的」，如果李括號為0，也就是 [x , y ] = 0 對於所有 x 和 y 。更一般的，一個李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
低中心序列 （lower central series）
g
>
[
g
,
g
]
>
[
[
g
,
g
]
,
g
]
>
[
[
[
g
,
g
]
,
g
]
,
g
]
>
.
.
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>...}
最終為 0。按照Engel定理 ，李代數零冪當且僅當對每個
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
u 映射
a
d
(
u
)
:
g
→
g
,
ad
(
u
)
v
=
[
u
,
v
]
{\displaystyle ad(u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}
是零冪的。更一般的，李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
可解 的若導序列 (derived series)
g
>
[
g
,
g
]
>
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
>
[
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
,
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
]
>
.
.
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>...}
最終成為0。
極大可解子代數成為波萊爾子代數 。
李代數 g 稱為半單 如果
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
基靈型 K (u ,v ) = tr(ad(u )ad(v )) 是非退化的；這裡 tr 表示跡算子 。當域 F 的特徵數為 0，
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
表示 都是完全可約的，也就是對於每個表示的不變子空間，有一個不變的補空間（外爾定理 Weyl's theorem）.
李代數是單 的，如果它沒有非平凡理想並且非交換。特別的有，一個單李代數是半單的，更一般的，半單李代數是單李代數的直和。
半單復李代數可通過它們的根系 分類。
使用範疇論 的語言，李代數 可以定義為向量空間範疇 中的對象 A 和態射
[
⋅
,
⋅
]
:
A
⊗
A
→
A
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
i
d
+
τ
A
,
A
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
[
⋅
,
⋅
]
⊗
i
d
)
∘
(
i
d
+
σ
+
σ
2
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}
其中
τ
(
a
⊗
b
)
:=
b
⊗
a
{\displaystyle \tau (a\otimes b):=b\otimes a}
(
i
d
⊗
τ
A
,
A
)
∘
(
τ
A
,
A
⊗
i
d
)
{\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes \mathrm {id} )}
循環枚舉 。用交換圖形式:
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras , Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ce0ecebaaa6530dea73faf9e5831dacb050936)
![{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730cd19026c1c8b8b3ac4e918cad74872c023d23)
![{\displaystyle [x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ccb967db9ab0773c5aa2e0fc234cd33373f193)
![{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23655a62f2a7cc545f121d9bcc30fe2c56731457)
![{\displaystyle [x+y,x+y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c0808f3e1cacefc5287673604694a416f91361)
![{\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d2a80df91d0e16cfa14924cfc729627f3234af)
![{\displaystyle [x,y]=-[y,x],(\forall x,y\in {\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9282ff56bb944bf6643d942a1be7d9924ad48b23)
![{\displaystyle ([x-y,x]=-[y,x]=[x-y,x-y+y]=[x-y,y]=[x,y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d105d01fc5939bce1452c7967f5317c6fe004b)
![{\displaystyle [x,x]=-[x,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ffd2a515d3bfc2058a5d417ad498c144930e7a)
![{\displaystyle [[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1355c94372444268d5200cf3079e4b2e8c5510)
![{\displaystyle [x,[y,z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c3a3b210ab676378107460425cdcd01b90d839)
![{\displaystyle [x,y]=x*y-y*x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa51a331f591e52a2c27021ad9c3fbb9feaddf3)
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle [X,Y]f=(XY-YX)f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e80ae91299a95f9000dca4910e4f33d81e26f61)
![{\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802430c1c2098502e07838acff942ac4bd8c5b47)
![{\displaystyle [x,y]\in {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ecd5310eb1c63bfacb7675ee269804219f73cb)
![{\displaystyle [a,y]\in {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bca610c031fe459310b9cb30939db8e884c8c7)
![{\displaystyle [x+{\mathfrak {h}},y+{\mathfrak {h}}]=[x,y]+{\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d033b122628a9ab4d159ce6d67dacbbdee8c11)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de542611c1a573b032c6fbba4179c6e75173219)
![{\displaystyle ad(u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9f88ba12129736d3921f5af1ca5b5f9f8c6a00)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06584553617f25f23766b0586dcb95818df851)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b6080f1643aa2b6103d529f8479f9409a20d83)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0189f4a028d82f6e8e745879d213970770bcb00)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dc458c8f493e3af5dc04f5b7c6466196786091)
