李超代数

李超代数李代数的推广,包含了Z2分次代数。李超代数在理论物理中十分重要,用于描述超对称的数学理论。其中,超代数的偶元素大多对应玻色子,奇元素大多对应费米子(也有相反者,如BRST超对称)。

定义

形式上看,李超代数是交换环(一般是RC)上的非结合Z2-分次代数,或“超代数”,其积为[·, ·],称作李超括号超交换子,满足两个条件(与分次的通常李代数类似):

超反对称性(skew-symmetry):

 

超雅可比恒等式:[1]

 

其中xyzZ2分次中为纯。|x|表示x的度(0或1)。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时,还会在 时添加公理 (若2可逆,则公理自动成立);对 时,有 (若3可逆,则公理自动成立)。当基环是整数或李超代数是自由模时,这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件(一般而言是定理成立的必要条件)。

正如对李代数一样,李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。 反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数(按ZN分次)也有 分次(称作将代数“卷”为奇偶部分),但不称作“超”。

性质

 为李超代数。通过观察雅可比恒等式,可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引,分成4类:[2]

  1. 无奇元素。即 为平凡李代数。
  2. 1个奇元素。则 是作用  模。
  3. 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号 是对称 映射。
  4. 3个奇元素。对所有 ,都有 

因此,李超代数的偶超代数 形成(正常)李代数,因为所有符号都消失了,超括号变为普通李括号;而  的线性表示,存在对称 等变线性映射 使得

 

条件(1)–(3)是现行的,都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的,且是在从普通李代数( )和表示( )开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合

李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数,映射反映Z2分次且对李超代数中所有xy都有 (有人更喜好约定 ;将*改为−*可在两种约定之间切换)。其泛包络代数将是普通对合代数

例子

给定结合超代数 ,可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子:

 

然后线性延伸到所有元素。代数 与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当 为超向量空间 中所有线性函数 的空间。 时,该空间可表为  [3]用上述李括号,空间可表为 [4]

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类:(不包括李代数)[5] 特殊线性李超代数  .

李超代数  的超代数,包含超迹为0的矩阵。 时是简单的; 时,单位矩阵 产生一个理想。对理想取商,可得  ,对 是简单的。

正交辛李超代数  .

考虑 上的偶、非退化、超对称双射形式 ,则正交辛李超代数是 的超代数,包含的矩阵满足下式不变: 其偶部由 给出。

例外李超代数  .

有一族取决于参数 的(9∣8)维李超代数,它们是 的变形。若  ,则D(2,1,α)是简单的;若  在映射  的作用下处于同一轨道,则 

例外李超代数  .

具有维度(24|16)。偶部由 给出。

例外李超代数  .

具有维度(17|14)。偶部由 给出。

还有2个所谓“奇异”序列,分别叫做  .

Cartan类型。可分为4族:    。对于简单李超代数的Cartan类型,奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

无穷维简单线性紧李超代数的分类

分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数:

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣(据Kac所说),因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维(仿射)李超代数是超弦理论中重要的对称,具体来说,具有 超对称的Virasoro代数是 ,其只有中心扩展到 [6]

范畴论定义

范畴论中,李超代数可定义为非结合超代数,其积满足

  •  
  •  

其中σ是循环包络辫 。以图表示:

 

另见

注释

  1. ^ Freund 1983,第8頁
  2. ^ Varadarajan 2004,第89頁
  3. ^ Varadarajan 2004,第87頁
  4. ^ Varadarajan 2004,第90頁
  5. ^ Cheng S.-J. ;Wang W. Dualities and representations of Lie superalgebras. Providence, Rhode Island. 2012: 12. ISBN 978-0-8218-9118-6. OCLC 809925982. 
  6. ^ Kac 2010

参考文献

历史

外部链接