對稱化

數學中，對稱化是將n元任意函數轉換為n元對稱函數的過程。同樣，反對稱化將n元任意函數轉換為反對稱函數。

二元

令S為集合，A是加法阿貝爾群。映射$\alpha :S\times S\to A$，若滿足以下條件，則稱其為對稱映射： $$\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$$ 若滿足以下條件，則稱其為反對稱映射： $$\alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$$

映射$\alpha :S\times S\to A$的對稱化是映射$(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).$ 相似地，映射$\alpha :S\times S\to A$的反對稱化或斜對稱化是映射$(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).$

映射$\alpha$的對稱化與反對稱化之和為$2\alpha .$因此，若2是可逆元，例如對實數，可以除以2並將每個函數表為對稱函數與反對稱函數之和。

對稱映射的對稱化是它的兩倍，交錯映射的對稱化是0；相似地，對稱映射的反對稱化是0，反對稱映射的反對稱化是它的兩倍。

雙線性形式

雙線性映射的（反）對稱化是雙線性的，因此若2是可逆元，雙線性形式是對稱形式與斜對稱形式之和，對稱形式與二次型之間沒有區別。 2時，並非所有形式都可分解為對稱形式與斜對稱形式。例如，整數上，相關的對稱形式（有理數上）可能取半整數值，而在$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$上，當且僅當函數是對稱的（$1=-1$），才是斜對稱的。

這就引出了ε-二次型與ε-對稱形式的概念。

表示論

用表示論的術語來說：

• 交換變量可得對稱群在二元函數空間上的表示。
• 對稱與反對稱函數是對應於平凡表示與符號表示的子表示。
• 對稱化與飯對稱化將函數映射到子表示中。若除以2，就會產生射影映射。

由於2階對稱群等於2階循環群（$\mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}$），這相當於2階離散傅立葉變換。

n元

給定n元函數，可通過求所有變量的$n!$種排列所得值之和實現對稱化，通過求所有變量的$n!/2$種偶排列所得值之和減去$n!/2$種奇排列所得值之和實現反對稱化（$n\leq 1$時唯一的排列是偶的）。

當中，對稱函數的對稱化是原函數乘以$n!$。因此若$n!$可逆，如特徵為0的域上時，或$p>n$，則這些函數除以$n!$會產生射影。

就表示論而言，這些只產生與平凡表示和符號表示相對應的子表示，但對於$n>2$還有其他表示。

自助法

給定k元函數，對變量的k元素子集求和，可得n元對稱函數。統計學中，這被稱作自助法，相關統計量稱作U-統計量。

另見

• 交錯多線性映射
• 反對稱張量

參考文獻

• Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Encyclopaedia of Mathematics 6. Springer. 1990. ISBN 978-1-55608-005-0.