反对称张量

数学理论物理学中,若一张量符号(+/−)随着指标子集的互换而变化,则称此向量在指标子集上是反对称的(或相对于指标子集反对称)。[1][2]指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如, 当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化,就称此向量是全反对称的。k全反对称协变张量场可称作微分k-形式,全反对称反变向量场可称作k-向量场。

反对称张量与对称张量

对指标ij反对称的张量A与对指标ij对称的张量B缩并都是0。

对于包含 的一般张量U和一对指标ijU可分为对称部分和反对称部分:

    (对称部分)
    (反对称部分)

其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的,对给定的一对指标,张量是其对称部分和反对称部分之和,例如  

符号

反对称可用方括号表示。例如,对任意维的2阶协变张量M  对3阶协变张量T 

在任意2维和3维中,都可以写成   其中 是广义克罗内克δ函数,我们使用爱因斯坦求和约定对同类指标求和。

更一般地说,无论维数多少,p个指标上的反对称都可表为  

一般说来每个为2的张量都能分解为一对对称张量和一对反对称张量,如  

对秩大于等于3的张量,这种分解一般并不正确,因为它们具有更复杂的对称性。

例子

全反对称张量包括:

另见

注释

  1. ^ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo. From Vectors to Tensors. Springer. 2005: 225. ISBN 978-3-540-22887-5.  section §7.

参考文献

外部链接