實數的構造

在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是藉助於有理數域。

基本方法

一個實數系統由一個集合$R$，$R$當中的兩個不同元素 0 和 1 ，$R$上的兩種二元運算 $+,\times$ （分別叫做加法與乘法），以及$R$上的一個二元關係$\leq$（即序關係）構成。 而且這個模型符合以下性質：

1. $(R,+,\times )$ 是一個域。即
   • $\forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z$（加法與乘法的結合性）
   • $\forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x$（加法與乘法的交換性）
   • $\forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$（乘法對加法有分配律）
   • $\forall x\in R,x+0=x$（存在加法單位元）
   • $\forall x\in R,x\times 1=x$（存在乘法單位元）
   • $\forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0$（存在加法逆元）
   • $\forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1$（存在乘法逆元）
2. $(R,\leq )$ 是一個全序集。即
   • $\forall x\in R,x\leq x$(自反性)
   • $\forall x,y\in R,$若 $x\leq y$ 且 $y\leq x$，則有$x=y$（反對稱性）
   • $\forall x,y,z\in R,$若 $x\leq y$且,$y\leq z$，則有$x\leq z$（傳遞性）
   • $\forall x,y\in R,x\leq y$ 或$y\leq x$（完全關係性）
3. $R$上的兩個運算$+,\times$ 均與序關係$\leq$相容。即
   • $\forall x,y\in R$,若$x\leq y,$則$x+z\leq y+z$（加法下保持次序）
   • $\forall x,y\in R$,若 $0\leq x$ 且$0\leq y$，則$0\leq x\times y$（乘法下保持次序）
4. 序關係$\leq$符合戴德金完備性: 若$R$的一個非空子集$A$有上界，那麼$A$也有上確界。換言之，
   • 若 $A$ 是 $R$的一個非空子集，而且$A$有上界，那麼$A$有一上確界$u$，使得對$A$的任何上界$v$，均有 $u\leq v.$

有理數域 $\mathbf {Q}$符合前三條公理，也就是說$\mathbf {Q}$是一個有序域（同時$\mathbf {Q}$還滿足阿基米德性，所以$\mathbf {Q}$是一個阿基米德有序域），但$\mathbf {Q}$ 不符合最後一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附註：當我們說符合以上公理的兩個模型： $(R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})$ 和 $(S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})$是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。 確切地說存在$f:R\rightarrow S$滿足

• $f$是一個雙射
• $f(0_{R})=0_{S}$ 及 $f(1_{R})=1_{S}$.
• $\forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)$ 及 $f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).$
• $\forall x,y\in R,x\leq _{R}y$ 當且僅當 $f(x)\leq _{S}f(y).$

塔斯基實數公理

另外一種公理化實數的方法由阿爾弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8條公理以及4個基本概念：一個稱之為實數集的集合（記作$\mathbb {R}$）、一個稱之為序的二元關係（記作$<$）、一個稱之為加法的二元運算（記作$+$）和常數$1$。

序相關公理 $(\mathbb {R} ,<)$：

• 公理一：如果$x<y$成立，那麼$y<x$不成立，即「$<$」為非對稱關係。
• 公理二：如果$x<z$成立，那麼存在$y$使得$x<y$與$y<z$同時成立，即「$<$」在實數集稠密。
• 公理三：「$<$」滿足戴德金完備性，即對所有$X,Y\subset \mathbb {R}$，如果對所有$x\in X$以及$y\in Y$均滿足$x<y$，那麼存在$z$使得對所有$x\in X$以及$y\in Y$並且有$z\neq x$以及$z\neq y$，總有$x<z$與$z<y$成立。

加法相關公理 $(\mathbb {R} ,<,+)$：

• 公理四：$x+(y+z)=(x+z)+y$。
• 公理五：對所有$x$與$y$，總存在$z$滿足$x+z=y$。
• 公理六：如果$x+y<z+w$成立，那麼$x<z$或$y<w$成立。

常數$1$相關公理 $(\mathbb {R} ,<,+,1)$

• 公理七：$1\in \mathbb {R}$；
• 公理八：$1<1+1$。

模型的具體構造

柯西序列

首先我們需要一個定義。設$(x_{n})$是一個有理數列，如果對於任何正有理數$r>0$，存在一個正整數$N$使得對於所有的整數$m,n>N$，都有$|x_{m}-x_{n}|<r$，則稱$(x_{n})$為有理數的柯西序列。

有理數集$\mathbf {Q}$配備上度量$|x-y|$（即一般的絕對值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集$\mathbf {R}$可定義為$\mathbf {Q}$對於度量$|x-y|$的完備化。（關於$\mathbf {Q}$在其他度量下的完備化，參見p進數。）

記$R$為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：

$(x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})$

$(x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).$

運算得到的序列依然會是柯西序列。

稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在$R$上定義了一個等價關係。以$[(x_{n})]$表示包含序列$(x_{n})$的等價類。

設$\mathbf {R}$為包含所有等價類的集合，然後也在$\mathbf {R}$上定義加法和乘法：

$[(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]$

$[(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]$

同樣地，這兩個運算是良好定義的。

可以證明$(\mathbf {R} ,+,\times )$是一個域。我們可以把$\mathbf {Q}$嵌入到$\mathbf {R}$——只要把有理數$r$對應於$(r)$便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的： 稱一個實數是正的，即$[(x_{n})]>[(0)]$，當且僅當存在自然數$N$和正有理數$r$，使得對一切$n>N$有 $x_{n}>r$。稱$[(x_{n})]>[(y_{n})],$當且僅當$[(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]$。

較難推導的是$\leq$的完備性，具體可以參考。

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， $\pi =3.1415926...$的記法意味著 $\pi$ 是柯西序列 $(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)$的等價類。等式$[(0.999...)]=[(1)]$則斷定了序列$(0,0.9,0.99,0.999,...)$ 和$(1,1,1,1,...)$是等價的，即它們之間的差收斂到$0$。

把$\mathbf {R}$作為$\mathbf {Q}$的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。

戴德金分割

主條目：戴德金分割

實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分$(A,B)\,$，其中$A,B$都非空，而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見，不妨把劃分$(A,B)\,$以其下組 $A$來代表，因為給定了 $A$ 就唯一確定了 $B$。所以直觀上，實數$r$能被$\{x\in {\textbf {Q}}:x<r\}$所代表。

具體而言，一個實數$r$是${\textbf {Q}}$ 的符合以下條件的一個子集：

1. $r$ 是非空集合
2. $r\neq {\textbf {Q}}$
3. $r$ 是向下封閉的，即：$\forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r$
4. $r$ 沒有最大元。也就是說，不存在$x\in r$，使得對任何$y\in r$有$y\leq x$

• 記${\textbf {R}}$ 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有${\textbf {Q}}$上的戴德金分割。然後在${\textbf {R}}$上定義這樣一個全序：$x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y$

• 有理數可以嵌入到${\textbf {R}}$裡，透過把$q$ 對應於集合$\{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}$。 因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。

• 加法：$A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$

• 減法：$A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$ ，其中${\textbf {Q}}\setminus B$ 代表$B$在${\textbf {Q}}$裡的補集，即$\{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}$

• 負號是減法的特例： $-B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$

• 乘法的定義較不直觀：
  • 若$A,B\geq 0$ ，那麼$A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}$
  • 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以透過$A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,$這定義式，把$A$, $B$轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。

• 類似地定義除法為：
  • 若$A\geq 0,\ B>0$，則$A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
  • 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以藉助 $A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,$ 的定義式，把 $A$換成非負數，以及把$B\,$換成正數，再採用上面的定義來計算。

• 上確界：如果${\textbf {R}}$的非空子集$S$ 有上界的話，那麼可以證明$\bigcup S$便是其上確界。

以下示範如何以戴德金分割代表根號2：設$A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}$。

首先，對於任何自乘小於2的正有理數 $x\,$，都存在一個大於x的有理數$y\,$ ，而且有$y\times y<2\,$ 。選擇$y={\frac {2x+2}{x+2}}\,$ 便可。所以我們證明了$A$ 是一個實數。 要證明$A\times A\leq 2$成立，只需指出如果$r\,$是小於2的有理數，那麼存在正的 $x\in A$ ，且 $r<x\times x\,$。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

小數記法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的收斂模。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明「完全有序域的所有模型都同構」的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

超實數

主條目：超實數

首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域^*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由^*Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。 B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 $R$。 注意B 並不是^*Q的一個內在集合。 此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 I保持了^*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

超現實數

主條目：超現實數

每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

透過整數集（歐多克索斯實數）

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。 Shenitzer和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。

設$f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$為一函數，若然$\{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}$是有限集，則稱f為殆同態。稱兩個殆同態$f,g$ 是 幾乎相等的，如果集合$\{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}$是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為[f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱$0\leq [f]$，若$f$ 是有界的，或者$f$ 在$\mathbb {Z} ^{+}$上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。

參見

• 數學結構主義#實分析中的例子