实数的构造

在数学里，实数系统可以透过不同方式被定义。其中，基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理，可以证明基本方法中给定的公理是绝对的，即是说如果有两个模型都符合那些公理，那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的，而多数的模型的建立都是借助于有理数域。

基本方法

一个实数系统由一个集合$R$，$R$当中的两个不同元素 0 和 1 ，$R$上的两种二元运算 $+,\times$ （分别叫做加法与乘法），以及$R$上的一个二元关系$\leq$（即序关系）构成。 而且这个模型符合以下性质：

1. $(R,+,\times )$ 是一个域。即
   • $\forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z$（加法与乘法的结合性）
   • $\forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x$（加法与乘法的交换性）
   • $\forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$（乘法对加法有分配律）
   • $\forall x\in R,x+0=x$（存在加法单位元）
   • $\forall x\in R,x\times 1=x$（存在乘法单位元）
   • $\forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0$（存在加法逆元）
   • $\forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1$（存在乘法逆元）
2. $(R,\leq )$ 是一个全序集。即
   • $\forall x\in R,x\leq x$(自反性)
   • $\forall x,y\in R,$若 $x\leq y$ 且 $y\leq x$，则有$x=y$（反对称性）
   • $\forall x,y,z\in R,$若 $x\leq y$且,$y\leq z$，则有$x\leq z$（传递性）
   • $\forall x,y\in R,x\leq y$ 或$y\leq x$（完全关系性）
3. $R$上的两个运算$+,\times$ 均与序关系$\leq$相容。即
   • $\forall x,y\in R$,若$x\leq y,$则$x+z\leq y+z$（加法下保持次序）
   • $\forall x,y\in R$,若 $0\leq x$ 且$0\leq y$，则$0\leq x\times y$（乘法下保持次序）
4. 序关系$\leq$符合戴德金完备性: 若$R$的一个非空子集$A$有上界，那么$A$也有上确界。换言之，
   • 若 $A$ 是 $R$的一个非空子集，而且$A$有上界，那么$A$有一上确界$u$，使得对$A$的任何上界$v$，均有 $u\leq v.$

有理数域 $\mathbf {Q}$符合前三条公理，也就是说$\mathbf {Q}$是一个有序域（同时$\mathbf {Q}$还满足阿基米德性，所以$\mathbf {Q}$是一个阿基米德有序域），但$\mathbf {Q}$ 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注：当我们说符合以上公理的两个模型： $(R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})$ 和 $(S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})$是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。 确切地说存在$f:R\rightarrow S$满足

• $f$是一个双射
• $f(0_{R})=0_{S}$ 及 $f(1_{R})=1_{S}$.
• $\forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)$ 及 $f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).$
• $\forall x,y\in R,x\leq _{R}y$ 当且仅当 $f(x)\leq _{S}f(y).$

塔斯基实数公理

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作$\mathbb {R}$）、一个称之为序的二元关系（记作$<$）、一个称之为加法的二元运算（记作$+$）和常数$1$。

序相关公理 $(\mathbb {R} ,<)$：

• 公理一：如果$x<y$成立，那么$y<x$不成立，即“$<$”为非对称关系。
• 公理二：如果$x<z$成立，那么存在$y$使得$x<y$与$y<z$同时成立，即“$<$”在实数集稠密。
• 公理三：“$<$”满足戴德金完备性，即对所有$X,Y\subset \mathbb {R}$，如果对所有$x\in X$以及$y\in Y$均满足$x<y$，那么存在$z$使得对所有$x\in X$以及$y\in Y$并且有$z\neq x$以及$z\neq y$，总有$x<z$与$z<y$成立。

加法相关公理 $(\mathbb {R} ,<,+)$：

• 公理四：$x+(y+z)=(x+z)+y$。
• 公理五：对所有$x$与$y$，总存在$z$满足$x+z=y$。
• 公理六：如果$x+y<z+w$成立，那么$x<z$或$y<w$成立。

常数$1$相关公理 $(\mathbb {R} ,<,+,1)$

• 公理七：$1\in \mathbb {R}$；
• 公理八：$1<1+1$。

模型的具体构造

柯西序列

首先我们需要一个定义。设$(x_{n})$是一个有理数列，如果对于任何正有理数$r>0$，存在一个正整数$N$使得对于所有的整数$m,n>N$，都有$|x_{m}-x_{n}|<r$，则称$(x_{n})$为有理数的柯西序列。

有理数集$\mathbf {Q}$配备上度量$|x-y|$（即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集$\mathbf {R}$可定义为$\mathbf {Q}$对于度量$|x-y|$的完备化。（关于$\mathbf {Q}$在其他度量下的完备化，参见p进数。）

记$R$为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：

$(x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})$

$(x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).$

运算得到的序列依然会是柯西序列。

称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在$R$上定义了一个等价关系。以$[(x_{n})]$表示包含序列$(x_{n})$的等价类。

设$\mathbf {R}$为包含所有等价类的集合，然后也在$\mathbf {R}$上定义加法和乘法：

$[(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]$

$[(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]$

同样地，这两个运算是良好定义的。

可以证明$(\mathbf {R} ,+,\times )$是一个域。我们可以把$\mathbf {Q}$嵌入到$\mathbf {R}$——只要把有理数$r$对应于$(r)$便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的： 称一个实数是正的，即$[(x_{n})]>[(0)]$，当且仅当存在自然数$N$和正有理数$r$，使得对一切$n>N$有 $x_{n}>r$。称$[(x_{n})]>[(y_{n})],$当且仅当$[(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]$。

较难推导的是$\leq$的完备性，具体可以参考。

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说， $\pi =3.1415926...$的记法意味着 $\pi$ 是柯西序列 $(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)$的等价类。等式$[(0.999...)]=[(1)]$则断定了序列$(0,0.9,0.99,0.999,...)$ 和$(1,1,1,1,...)$是等价的，即它们之间的差收敛到$0$。

把$\mathbf {R}$作为$\mathbf {Q}$的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。

戴德金分割

主条目：戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分$(A,B)\,$，其中$A,B$都非空，而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见，不妨把划分$(A,B)\,$以其下组 $A$来代表，因为给定了 $A$ 就唯一确定了 $B$。所以直观上，实数$r$能被$\{x\in {\textbf {Q}}:x<r\}$所代表。

具体而言，一个实数$r$是${\textbf {Q}}$ 的符合以下条件的一个子集：

1. $r$ 是非空集合
2. $r\neq {\textbf {Q}}$
3. $r$ 是向下封闭的，即：$\forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r$
4. $r$ 没有最大元。也就是说，不存在$x\in r$，使得对任何$y\in r$有$y\leq x$

• 记${\textbf {R}}$ 为所有实数的集合，也就是说它包含了所有${\textbf {Q}}$上的戴德金分割。然后在${\textbf {R}}$上定义这样一个全序：$x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y$

• 有理数可以嵌入到${\textbf {R}}$里，透过把$q$ 对应于集合$\{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}$。 因为有理数在有理数集内是稠密的，所以这个集合没有最大元，并满足上述的各条件。

• 加法：$A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$

• 减法：$A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$ ，其中${\textbf {Q}}\setminus B$ 代表$B$在${\textbf {Q}}$里的补集，即$\{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}$

• 负号是减法的特例： $-B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$

• 乘法的定义较不直观：
  • 若$A,B\geq 0$ ，那么$A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}$
  • 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一个是负的，可以透过$A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,$这定义式，把$A$, $B$转化为正数的情况，再采用上面的定义来计算。

• 类似地定义除法为：
  • 若$A\geq 0,\ B>0$，则$A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
  • 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一个是负的，可以借助 $A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,$ 的定义式，把 $A$换成非负数，以及把$B\,$换成正数，再采用上面的定义来计算。

• 上确界：如果${\textbf {R}}$的非空子集$S$ 有上界的话，那么可以证明$\bigcup S$便是其上确界。

以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设$A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}$。

首先，对于任何自乘小于2的正有理数 $x\,$，都存在一个大于x的有理数$y\,$ ，而且有$y\times y<2\,$ 。选择$y={\frac {2x+2}{x+2}}\,$ 便可。所以我们证明了$A$ 是一个实数。 要证明$A\times A\leq 2$成立，只需指出如果$r\,$是小于2的有理数，那么存在正的 $x\in A$ ，且 $r<x\times x\,$。

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

小数记法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的收敛模。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

超实数

主条目：超实数

首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域^*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由^*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环B。 B 有着唯一的极大理想 I，即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 $R$。 注意B 并不是^*Q的一个内在集合。 此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了^*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

超现实数

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每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味着没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。

透过整数集（欧多克索斯实数）

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。 Shenitzer和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

设$f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$为一函数，若然$\{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}$是有限集，则称f为殆同态。称两个殆同态$f,g$ 是 几乎相等的，如果集合$\{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}$是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为[f]。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称$0\leq [f]$，若$f$ 是有界的，或者$f$ 在$\mathbb {Z} ^{+}$上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。

参见

• 数学结构主义#实分析中的例子