字 (群論)

在群論中，字是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，則 xy, z^-1xzz 和 y^-1zxx^-1yz^-1 都是集合 {x, y, z} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，並是組合群論的中心研究對象。

定義

設 G 是群，並設 S 是 G 的子集。S 形成的字是如下形式的表達式

s_{1}^{\epsilon _{1}}s_{2}^{\epsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\epsilon _{n}}

這里的 s₁,...,s_n 是 S 的元素並且每個 ε_i 都是 ±1。數 n 叫做字的長度。

用 S 形成的每個字表示 G 的一個元素，也就是這個表達式的乘積。按慣例，單位元可以被表示為空字，它是長度為零的唯一的字。

符號

在書寫字的時候，經常使用指數符號來簡寫。例如，字

xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,

可以寫為

x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}\,

。

後者表達式自身不是個字，它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候，使用上劃線來指示 S 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號，上述字可以寫為如下:

x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}\,

。

字和展示

群 G 的子集 S 叫做生成集，如果所有 G 的元素可以用 S 形成的字來表示。如果 S 是生成集，關係是表示在 G 中相同的元素的一對 S 形成的字。它們通常寫為等式:

x^{-1}yx=y^{2}\,

關係的集合 ${\mathcal {R}}$ 定義 G，如果所有 G 中的關係可以從 ${\mathcal {R}}$ 的關係使用群公理在邏輯上推出。G 的展示是有序對 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle$ ，這里的 S 是 G 的生成集而 ${\mathcal {R}}$ 是關係的定義集合。

例如，克萊因四元群可以通過如下展示來定義

\langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle

這里的 1 指示表示單位元的空字。

在 S 不是 G 的生成集的時候，用 S 形成的字表示的元素的集合是 G 的子群。這叫做 G 生成自 S 的子群，並通常指示為 $\langle S\rangle$ 。它是包含 S 的元素的 G 的最小子群。

簡約字

其中生成元接著它自己的逆元出現(xx^-1 或 x^-1x)的任何字可以通過省略冗餘對來簡化:

y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy

這個運算叫做簡約，並且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關係。)

簡約字是不包含冗餘對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:

xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz

結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 S 是任何集合， S 上的自由群是帶有展示 $\langle S\mid \;\rangle$ 的群。就是說，在 S 上的自由群是 S 的元素在沒有額外的關係下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 S 形成的簡約字。

一個字是循環簡約的，當且僅當字的所有循環置換是簡約的。

規範形式

帶有生成集合 S 的群 G 的規範形式是對給每個 G 的元素的 S 形成的一個簡約字的選擇。例如:

字 1, i, j, ij 是克萊因四元群的規範形式。
字 1, r, r², ..., r^n-1, s, sr, sr^n-1 是二面體群 Dih_n 的規範形式。
S 形成的簡約字的集合是 S 上的自由群的規範形式。
形如 x^myⁿ 對於 m,n ∈ Z 的字的集合是循環群〈x〉和〈y〉的直積的規範形式。

在字上的運算

兩個字的乘積可以通過串接獲得:

\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y

是兩個字都是簡約的，乘積也可能不是簡約的。

字的逆可以通過反轉每個生成元，並對換元素的次序來獲得:

\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}

字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:

zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}\;\longrightarrow \;\;1

可以通過共軛把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:

x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx

字問題

給定一個群 G 的展示 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle$ ，字問題是一個算法問題，給定 S 中的兩個字作為輸入，確定它們是否表示 G 的相同元素。字問題是 Max Dehn 在 1911 年提出的三個算法問題之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年證明了存在有限展現的群 G 使得 G 的字問題是不可決定性的(Novikov 1955)。

引用

Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P., Word Processing in Groups, AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
Novikov, P. S., On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, 44: 1–143 （俄語）
Robinson, Derek John Scott. A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3.
Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.
Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. Combinatorial group theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5.
Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9
Stillwell, John. Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.