字 (群论)

在群论中，字是群的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，则 xy, z^-1xzz 和 y^-1zxx^-1yz^-1 都是集合 {x, y, z} 形成的字。字在自由群和展示理论中扮演重要角色，并是组合群论的中心研究对象。

定义

设 G 是群，并设 S 是 G 的子集。S 形成的字是如下形式的表达式

s_{1}^{\epsilon _{1}}s_{2}^{\epsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\epsilon _{n}}

这里的 s₁,...,s_n 是 S 的元素并且每个 ε_i 都是 ±1。数 n 叫做字的长度。

用 S 形成的每个字表示 G 的一个元素，也就是这个表达式的乘积。按惯例，单位元可以被表示为空字，它是长度为零的唯一的字。

符号

在书写字的时候，经常使用指数符号来简写。例如，字

xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,

可以写为

x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}\,

。

后者表达式自身不是个字，它简单的是最初的字的简写符号表示。

在处理长字的时候，使用上划线来指示 S 的元素的逆元是很有帮助的。使用上划线符号，上述字可以写为如下:

x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}\,

。

字和展示

群 G 的子集 S 叫做生成集，如果所有 G 的元素可以用 S 形成的字来表示。如果 S 是生成集，关系是表示在 G 中相同的元素的一对 S 形成的字。它们通常写为等式:

x^{-1}yx=y^{2}\,

关系的集合 ${\mathcal {R}}$ 定义 G，如果所有 G 中的关系可以从 ${\mathcal {R}}$ 的关系使用群公理在逻辑上推出。G 的展示是有序对 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle$ ，这里的 S 是 G 的生成集而 ${\mathcal {R}}$ 是关系的定义集合。

例如，克莱因四元群可以通过如下展示来定义

\langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle

这里的 1 指示表示单位元的空字。

在 S 不是 G 的生成集的时候，用 S 形成的字表示的元素的集合是 G 的子群。这叫做 G 生成自 S 的子群，并通常指示为 $\langle S\rangle$ 。它是包含 S 的元素的 G 的最小子群。

简约字

其中生成元接著它自己的逆元出现(xx^-1 或 x^-1x)的任何字可以通过省略冗余对来简化:

y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy

这个运算叫做简约，并且它不改变这个字表示的元素。(简约可以被认为是从群公理推出的关系。)

简约字是不包含冗余对的字。任何字都可以通过进行一序列的简约而简化成简约字:

xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz

结果不依赖于进行简约的次序。

如果 S 是任何集合， S 上的自由群是带有展示 $\langle S\mid \;\rangle$ 的群。就是说，在 S 上的自由群是 S 的元素在没有额外的关系下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的写为 S 形成的简约字。

一个字是循环简约的，当且仅当字的所有循环置换是简约的。

规范形式

带有生成集合 S 的群 G 的规范形式是对给每个 G 的元素的 S 形成的一个简约字的选择。例如:

字 1, i, j, ij 是克莱因四元群的规范形式。
字 1, r, r², ..., r^n-1, s, sr, sr^n-1 是二面体群 Dih_n 的规范形式。
S 形成的简约字的集合是 S 上的自由群的规范形式。
形如 x^myⁿ 对于 m,n ∈ Z 的字的集合是循环群〈x〉和〈y〉的直积的规范形式。

在字上的运算

两个字的乘积可以通过串接获得:

\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y

是两个字都是简约的，乘积也可能不是简约的。

字的逆可以通过反转每个生成元，并对换元素的次序来获得:

\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}

字和它的逆元的乘积可以简约为空字:

zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}\;\longrightarrow \;\;1

可以通过共轭把一个生成元从字的开始处移动到结尾处:

x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx

字问题

给定一个群 G 的展示 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle$ ，字问题是一个算法问题，给定 S 中的两个字作为输入，确定它们是否表示 G 的相同元素。字问题是 Max Dehn 在 1911 年提出的三个算法问题之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年证明了存在有限展现的群 G 使得 G 的字问题是不可决定性的(Novikov 1955)。

引用

Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P., Word Processing in Groups, AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
Novikov, P. S., On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, 44: 1–143 （俄语）
Robinson, Derek John Scott. A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3.
Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.
Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. Combinatorial group theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5.
Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9
Stillwell, John. Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.