具體地，向量場X 是一個基靈場，如果度量關於 X 李導數 為零：
L
X
g
=
0
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}
用列維-奇維塔聯絡 表示，即
g
(
∇
Y
X
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
Z
X
)
=
0
{\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
對所有的向量Y 與Z 。在局部坐標系 中，這便是基靈方程：
∇
μ
X
ν
+
∇
ν
X
μ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}
該條件表示成共變形式，從而只要在一個特定的坐標系中成立就在所有坐標系下成立。
一個基靈場由其在一點的向量和其梯度（即這個場在該點的所有共變導數 ）決定。
兩個基靈場的李括號 仍然是一個基靈場。從而流形M 上的基靈場組成了M 上一個李代數 。如果M 緊或者完備 這便是流形的等距同構群 的李代數。
對緊 流形：
負里奇曲率 意味着不存在非平凡 基靈場。
非正里奇曲率，意味着任何基靈場都是平行的，即沿着任何向量場的共變導數恆為零。
如果截面曲率 為正且M 維數為偶，一個基靈場一定有零點。 基靈向量場可以推廣到共形基靈向量場，定義為：
L
X
g
=
λ
g
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}
對某個純量
λ
{\displaystyle \lambda \,}
共形映射 族的導數是共形基靈場。另一種推廣是共形基靈張量場，是一個對稱張量 場T ，使得
∇
T
{\displaystyle \nabla T\,}
在廣義相對論中，基靈矢量與時空的對稱性緊密聯繫。簡單說來，當一個時空流形在特定變換下具有幾何不變性時，我們稱這種時空流形具有對稱性 ；也就是說度規在這種變換下是保持形式不變的。一個張量場 可能會具有多種不同的對稱性，例如閔可夫斯基時空 的平直度規在平移變換（包含四種基本對稱操作）及洛倫茲變換 （包含六種基本對稱操作）下保持不變，即對於閔可夫斯基度規
d
s
2
=
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}
所具有的兩種對稱性表示為
x
ν
→
x
ν
+
a
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to x^{\nu }+a^{\nu }\,}
平移對稱性 ）
x
ν
→
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to \Lambda _{\mu }^{\nu }x^{\nu }\,}
洛倫茲對稱性 ）從閔可夫斯基時空的平移對稱性表示中我們可以看到，度規的係數
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\,}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
x
σ
→
x
σ
+
a
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma }\to x^{\sigma }+a^{\sigma }\,}
對類時 的測地線 而言，測地線方程 可以寫成動量 的形式，即對於粒子的四維動量
p
μ
=
m
U
μ
{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }\,}
p
λ
∇
λ
p
μ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\nabla _{\lambda }p^{\mu }=0}
其中
p
λ
{\displaystyle p^{\lambda }\,}
協變導數 的定義方程等價於
p
λ
∂
λ
p
μ
−
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }=0\,}
左邊第一項的含義是動量如何沿測地線變化：
p
λ
∂
λ
p
μ
=
m
d
x
λ
d
τ
∂
λ
p
μ
=
m
d
p
μ
d
τ
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }}\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}\,}
而第二項可以化為如下形式：
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
1
2
g
σ
ν
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
σ
=
1
2
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
ν
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }&={\frac {1}{2}}g^{\sigma \nu }\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p_{\sigma }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\end{aligned}}}
其中第二步到第三步是用了
p
λ
p
ν
{\displaystyle p^{\lambda }p^{\nu }\,}
m
d
p
μ
d
τ
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\,}
從這個方程我們可知，對於度規
g
ν
λ
{\displaystyle g_{\nu \lambda }\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
d
p
σ
d
τ
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\,}
這個守恆律雖然是從類時的測地線得到的，它對所有的測地線都成立。
我們在上節中看到，當度規與坐標的某一個分量無關時，度規在這個分量上則具有平移對稱性。現在從這個事實出發將其寫成協變的形式，即當一個一般的度規
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }\,}
K
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
推導中一般寫成分量的形式：
K
μ
=
(
∂
σ
)
μ
=
δ
σ
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }=\left(\partial _{\sigma }\right)^{\mu }=\delta _{\sigma }^{\mu }\,}
這裡我們稱
K
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }}
p
σ
=
K
ν
p
ν
{\displaystyle p_{\sigma }={K}^{\nu }p_{\nu }\,}
從前文的推導我們已知，若
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
方向導數 為零，用生成矢量的形式寫出來則得到
d
p
σ
d
τ
=
0
⇔
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
將右面的式子作展開得到
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
p
μ
∇
μ
K
ν
p
ν
+
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
(
μ
K
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)&=p^{\mu }\nabla _{\mu }{K}_{\nu }p^{\nu }+p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{(\mu }K_{\nu )}\end{aligned}}}
從第一步到第二步中第一項消去的原因是測地線方程，而第二步到第三步是由於
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
由此可得到結論：對於任何滿足方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
ν
p
ν
{\displaystyle K_{\nu }p^{\nu }\,}
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
⇒
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
左面的方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
從基靈矢量的概念可進一步推廣到基靈張量，即滿足方程
∇
(
μ
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l})}=0\,}
的
l
{\displaystyle l\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle {K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
p
μ
∇
μ
(
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\right)=0\,}
度規本身就是一個基靈張量，在膨脹宇宙模型 中，弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規 也具有類時的基靈張量。
基靈矢量的協變導數 與黎曼張量 直接聯繫，彼此關係為
∇
μ
∇
σ
K
ρ
=
R
σ
μ
ν
ρ
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }K^{\nu }\,}
與里奇張量 的關係為
∇
μ
∇
σ
K
μ
=
R
σ
ν
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\mu }=R_{\sigma \nu }K^{\nu }\,}
從這兩個關係、比安基恆等式 以及基靈方程可推出里奇標量 在沿基靈矢量場的方向導數為零，這是其度規在這些方向上具有幾何不變性的體現：
K
λ
∇
λ
R
=
0
{\displaystyle K^{\lambda }\nabla _{\lambda }R=0\,}
動量守恆是空間平移不變性的體現，而能量守恆則是時間平移不變性的體現。藉助於一個類時的基靈矢量我們能夠定義一個全部時空的守恆能量：從基靈矢量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
J
μ
=
K
ν
T
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu }=K_{\nu }T^{\mu \nu }\,}
這個流是一個守恆量：
∇
μ
J
μ
=
(
∇
μ
K
ν
)
T
μ
ν
+
K
ν
(
∇
μ
T
μ
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu }J^{\mu }=\left(\nabla _{\mu }K_{\nu }\right)T^{\mu \nu }+K_{\nu }\left(\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }\right)=0\,}
第一項為零是由於基靈方程，而第二項為零是由於
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
當
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
類空 的超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
E
=
∫
Σ
J
μ
n
μ
γ
d
3
x
{\displaystyle E=\int _{\Sigma }J^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {\gamma }}\,d^{3}x\,}
其中
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}\,}
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
誘導度規 ，而
n
μ
{\displaystyle n_{\mu }\,}
柯瑪質量 的定義，在膨脹宇宙模型中時空中的總能量一般並不是守恆的，這與膨脹宇宙的度規是時間的函數有關。如果存在一個類時的基靈矢量，則度規與時間無關，從而存在一個守恆的能量定義。
Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322（英语） . Jost, Jurgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-42627-2 （英语） . Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity (Second Edition). New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 0-07-000423-4 （英语） . Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 （英语） . 
