平凡 (數學)

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数学中,术语平凡平凡的(英語:trivial)经常用于描述结构非常简单的对象(比如拓扑空间)。有時亦會用明顯乏趣這兩個詞代替,但对非数学工作者来说,它们有时可能比其他更复杂的对象更难想象或理解。

平凡解

平凡也用于一个方程具有非常简单结构的解,但是为了完整性不能省略。这种解称为平凡解。例如,考虑微分方程

 

这里   为一個函数  為其导数

0 函数   是一個平凡解;
指数函数   是一个非平凡解。

类似地,数学家经常将费马大定理描述为方程    没有非平凡解。

这个方程對任意   都有解,如   以及   。但是这种解是显然而无趣的,从而称为平凡

數學推理

平凡也经常指证明中容易的情形,为了完整性而不能省略。比如,数学归纳法证明分为两部分:“奠基步驟”是对一个特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 证明定理;然后归纳步骤证明如果定理对特定值 n 成立,那么对 n+1 也成立。奠基情形经常是显然的。(但是,也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子。关于多项式的定理经常是这种类型,证明对变元的个数用归纳法。证明如果系数环 A 是唯一分解整环那么 A[X1,...,Xn] 是唯一分解整环,归纳步骤只要简单的写成 A[X1,...,Xn] = A[X1,...,Xn-1][Xn],而一个变元的奠基情形是困难的。)类似地,我们可能想证明某种性质对一个集合中所有元素都成立。证明的主要考虑非空集合,详细检验其元素是否具有該性質;但如果集合是空集,則性质对其所有元素都成立,因为没有元素需要檢驗。(参见空洞的事實英语Vacuous truth

数学界一个常见的笑话是说“平凡”和“已被证明”是同义词——这就是说,任何定理如果已知成立就可以认为是“平凡”的。另一个笑话是关于两个数学家讨论一个定理。第一个数学家说某个定理是“平凡的”。另一个要求一个解释,然后他进行了 20 分钟的解说。解说完了之后,第二个数学家同意这个定理是平凡的。这个笑话指出对平凡性判断的主观性。举个例子,对微积分熟练的人,会认为这个定理

 

是平凡的。但对初学者来说,可能一点也不显然。

值得注意的是,平凡性也取决于语境。泛函分析中的证明可能会给出一个数,平凡地假设存在这样的大数。在初等数论中证明自然数的基本结论时,证明也许會與「每個自然数都有一个后继」息息相關,但此點需加以證明,或者将其作为一个公理

例子

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