基本元素

在集合論中，基本元素（ur-element, 或urelement）是指那些自身不為集合，但可以是某個集合的元素的數學物件。就是說如果 U 是基本元素，則

X ∈ U

這一說法是沒有意義的，而

U ∈ X

是完全合理的。

這不應該與空集混淆，當我們說

X ∈$\emptyset$

這是邏輯上合理的，只不過是假的。

基本元素有時也叫做「原子」或「個體」。

基本元素和公理化

在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合論的標準公理化集合論中，沒有基本元素。但是確實有其他公理化集合論使用基本元素，比如：帶有基本元素的 Kripke-Platek 集合論。在帶有類型的集合論系統中，基本元素有時是類型 0 的對象，所以叫做「原子」。在這種理論中，外延公理需要特殊的形式化和處理。

現已發現，向 NF 系統加進基本元素而生成的 NFU系統會產生某些令人驚訝的結論。特別是，NFU 已知是一致的，儘管與 NF 的相對一致性仍是未解的問題。此外，NFU 一致於選擇公理而 NF 則不然。

引用

• Ronald Jensen (1969) "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63.
• Mendelson, Elliot (1997) Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall.
• Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
• 埃里克·韋斯坦因. Urelement. MathWorld.