基本元素

在集合论中，基本元素（ur-element, 或urelement）是指那些自身不为集合，但可以是某个集合的元素的数学物件。就是说如果 U 是基本元素，则

X ∈ U

这一说法是没有意义的，而

U ∈ X

是完全合理的。

这不应该与空集混淆，当我们说

X ∈$\emptyset$

这是逻辑上合理的，只不过是假的。

基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。

基本元素和公理化

在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合论的标准公理化集合论中，没有基本元素。但是确实有其他公理化集合论使用基本元素，比如：带有基本元素的 Kripke-Platek 集合论。在带有类型的集合论系统中，基本元素有时是类型 0 的对象，所以叫做“原子”。在这种理论中，外延公理需要特殊的形式化和处理。

现已发现，向 NF 系统加进基本元素而生成的 NFU系统会产生某些令人惊讶的结论。特别是，NFU 已知是一致的，尽管与 NF 的相对一致性仍是未解的问题。此外，NFU 一致于选择公理而 NF 则不然。

引用

• Ronald Jensen (1969) "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63.
• Mendelson, Elliot (1997) Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall.
• Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
• 埃里克·韦斯坦因. Urelement. MathWorld.