格伦布编码

格伦布编码（英语：Golomb coding）是一种无失真资料压缩方法，由数学家所罗门·格伦布在1960年代提出。其优点为易于编码与解码，另外对于拥有机率分布为几何分布$G(p),p=0.5,$的资料，格伦布编码是最佳的前缀码，且能无限逼近该资料的熵，目前广泛用于无损影像压缩。

编码的建立

令输入值为正整数$n$，参数值为正整数 $M$，输出值格伦布码为 $c$，其中 $c$ 由两种编码组合而成，

$c=(u,b)$，$u$：一进制编码，$b$：截断二进制编码。

计算 $u$ 与 $b$。

$q=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor ,$ $r=n-q$。

将 $q$ 做一进制编码，$r$ 做截断二进制编码即可得到$(u,b)$。

格伦布-莱斯编码中的商数$q$指示了所在区块，而$r$指示所在区块内部的位置。如上图，对整数 $N$ 做格伦布-莱斯编码，$q$ 代表区块、$r$ 表示区块内部位置、$M$ 为参数，每个区块的大小皆相等且长度为 $M$，特别注意当编码方式为格伦布-莱斯编码时，即 $M$ 为 $2$ 的整数次方，所有$r$的编码长度相等。

参数 $M$ 是伯努利过程的函数，其中伯努利过程的参数 $p$ 定义为 $p=P(X=0)$，则 $M$ 的所在区间为此伯努利过程的中位数-1到中位数+1之间。如下式：

$(1-p)^{M}+(1-p)^{M+1}\leq 1<(1-p)^{M-1}+(1-p)^{M}.$

当 $M$ 足够大时，我们可以将其表示成，$M=\left\lfloor {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rfloor$。

使用符号整数

格伦布编码主要是针对非负整数进行编码，但也可以使用重叠(Overlap)与交错(Interleave)扩展至对所有整数进行编码。令一串用于编号的数列，(0,1,2,...)，给予非负整数偶数编号，给予负整数奇数编号，使得排列方式如下，(0,-1,1,-2,2,...)，即非负整数 $x$ 映射至 $\{x^{\prime }|x^{\prime }=2|x|,x\geq 0\}$，负整数 $y$ 映射至 $\{y^{\prime }|y^{\prime }=2|y|-1,y<0\}$。

莱斯编码

莱斯编码（Rice coding，由Robert F. Rice所提出），为一种前缀码，归属于格伦布编码的子集合，参数 $M$ 为 $2$ 的整数次方，即 $M=2^{R},R\in N$。此种特例未必是所有格伦布编码中的最佳编码方式，但由于目前电脑为二进位运算，莱斯编码能快速且有效地以二进位运算实现。

性质

范氏霍夫曼编码

格伦布编码为一种范氏霍夫曼编码。

演算法

1. 选择参数 $M$
2. 待编码数值为 $n$，计算：
   1. 商数： $q=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor ,$
   2. 馀数： $r=n-q$。
3. 编码
   1. 商数编码，对 $q$ 进行一进制编码，得到 $u$。
   2. 馀数编码，对 $r$ 进行截断二进制编码，得到 $b$。
   3. 合并，$c=(u,b)$。
4. 输出 $c=(u,b)$

范例

设 M = 10。则 $b=\lceil \log _{2}(10)\rceil =4$. $2^{b}-M=16-10=6$

商数编码 q 输出位元 0 0 1 10 2 110 3 1110 4 11110 5 111110 6 1111110 $\vdots$ $\vdots$ N $\underbrace {111\cdots 111} _{N}0$

馀数编码 r 偏移 二进位 输出位元 0 0 0000 000 1 1 0001 001 2 2 0010 010 3 3 0011 011 4 4 0100 100 5 5 0101 101 6 12 1100 1100 7 13 1101 1101 8 14 1110 1110 9 15 1111 1111

选择42作为编码时，42会被拆成 $q=4$ 及 $r=2$，编码为11110010，而商数编码尾数必为0，能标示商数编码位元的结束。

参考来源

• Golomb, S.W. (1966). , Run-length encodings. IEEE Transactions on Information Theory, IT--12(3):399--401 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R. F. Rice (1971) and R. Plaunt, , "Adaptive Variable-Length Coding for Efficient Compression of Spacecraft Television Data, " IEEE Transactions on Communications, vol. 16(9), pp. 889–897, Dec. 1971. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R. F. Rice (1979), "Some Practical Universal Noiseless Coding Techniques, " Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, California, JPL Publication 79—22, Mar. 1979.
• Witten, Ian Moffat, Alistair Bell, Timothy. "Managing Gigabytes: Compressing and Indexing Documents and Images." Second Edition. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco CA. 1999 ISBN 1-55860-570-3
• David Salomon. "Data Compression",ISBN 0-387-95045-1.
• S. Büttcher, C. L. A. Clarke, and G. V. Cormack. Information Retrieval: Implementing and Evaluating Search Engines （页面存档备份，存于互联网档案馆）. MIT Press, Cambridge MA, 2010.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Golomb_coding （页面存档备份，存于互联网档案馆）