朗伯W函数

朗伯W函数（英语：Lambert W function，又称为欧米加函数或乘积对数），是$f(w)=we^{w}$的反函数，其中$e^{w}$是指数函数，$w$是任意复数。对于任何复数$z$，都有：

$W_{0}(x)$的图像，$-{\frac {1}{e}}\leq x\leq 4$

$z=W(z)e^{W(z)}.$

由于函数$f$不是单射，因此函数$W$是多值的（除了0以外）。如果我们把$x$限制为实数，并要求$w$是实数，那么函数仅对于$x\geq {\frac {1}{e}}$有定义，在$(-{\frac {1}{e}},0)$内是多值的；如果加上$w\geq -1$的限制，则定义了一个单值函数$W_{0}(x)$（见图）。我们有$W_{0}(0)=0$，$W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1$。而在$[-{\frac {1}{e}},0)$内的$w\leq -1$分支，则记为$W_{-1}(x)$，从$W_{-1}(-{\frac {1}{e}})=-1$递减为$W_{-1}(0^{-})=-\infty$。

朗伯$W$函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如$y(t)=ay(t-1)$。

复平面上的朗伯W函数的函数图形

微分和积分

朗伯 $W\,$函数的积分形式为

$W(x)={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-v\cot v\right)^{2}+v^{2}}{x+v\csc v\cdot e^{-v\cot v}}}{\rm {d}}v,|\arg \left(x\right)|<\pi \,$

$W(x)=\int _{-\infty }^{-{\frac {1}{e}}}{-{\frac {1}{\pi }}}\Im \left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}W(x)\right]\ln \left(1-{\frac {z}{x}}\right){\rm {d}}x\,$

若 $x\not \in \left[-{\frac {1}{e}},0\right],k\in {\mathbb {Z} }\,$ ,若 $x\in \left(-{\frac {1}{e}},0\right),k=1,\pm 2,\pm 3,...\,$

$W_{k}(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {t-\ln t+\ln x+(2k+1)\pi {\rm {i}}}{t-\ln t+\ln x+(2k-1)\pi {\rm {i}}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}+2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right){\rm {i}}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}\,$

把被积函数的实部和虚部分离出来：

$W_{k}(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}+{\rm {i}}\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\right]\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}$

${}_{W_{k}(x)=1+{\frac {\left(\ln x-1\right)\cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}-2k\pi \sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+{\rm {i}}\left[\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}\right]}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}}$

设 $W_{k}(x)=u+v{\rm {i}},x=t+s{\rm {i}}$ ，则有 $\left(u+v{\rm {i}}\right)e^{u+v{\rm {i}}}=t+s{\rm {i}}$ ，展开分离出实部和虚部，

$e^{u}\left(u\cos v-v\sin v\right)=t,e^{u}\left(u\sin v+v\cos v\right)=s$,当$s=0$时，易知 $u=-v\cot v$

${}_{W_{k}(x)={\frac {\left(1-\ln x\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}-2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}\cot {\frac {\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}+{\frac {\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}{\rm {i}},}$

$W_{0}(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\arg \left(t-\ln t+\ln x+\pi {\rm {i}}\right)\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}},x>0$

若 $x>{\frac {1}{e}}$ ，上式还可化为$W_{0}(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {\pi }{t-\ln t+\ln x}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}$

由隐函数的求导法则，朗伯$W\,$函数满足以下的微分方程：

$z\left[1+W(z)\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}W(z)=W(z)$，$z\neq -{\frac {1}{e}}\,,$

因此：

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}W(z)={\frac {W(z)}{z\left[1+W(z)\right]}}$，$z\neq -{\frac {1}{e}}\,.$

函数$W(x)\,$，以及许多含有$W(x)\,$的表达式，都可以用$w=W(x)\,$的变量代换来积分，也就是说$x=we^{w}\,$

$\int W(x){\rm {d}}x=x\left[W(x)+{\frac {1}{W(x)}}-1\right]+C$

$\int _{0}^{1}W(x){\rm {d}}x=\Omega +{\frac {1}{\Omega }}-2\approx 0.330366$

其中$\Omega$为欧米加常数。

性质

$1\,$、$z^{z^{z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}}}=\lim _{n\to \infty }(z\upuparrows n)=-{\frac {W(-\ln z)}{\ln z}}$，

其中$\upuparrows$是高德纳箭号表示法。

$2\,$、若$z>0\,$，则$\ln W(z)=\ln z-W(z)\,$

泰勒级数

$W_{0}\,$在$x=0\,$的泰勒级数如下：

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

收敛半径为 ${\frac {1}{e}}\,$ 。

加法定理

$W(x)+W(y)=W\left[{\frac {xy}{W(x)}}+{\frac {xy}{W(y)}}\right]\,$

$x>0,y>0\,$

复数值

实部

$\Re \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\cos \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\,$ , $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

虚部

$\Im \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\sin \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\,$, $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

模长

$|W(x+y{\rm {i}})|=W({\sqrt {x+y}})\,$

模角

$\arg \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}\arctan \left[\cot(k\arctan {\frac {x}{y}})\right]\,$, $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

共轭值

${\overline {W(x+y{\rm {i}})}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\left[\cos \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)-{\rm {i}}\sin \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\right]\,$, $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

特殊值

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}i$

$W\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 2$

$W\left(-{1 \over e}\right)=-1$

$W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,$（欧米加常数）

$W(e)=1\,$

$W(e^{e+1})=e\,$

$W\left({\frac {1}{e^{1-{\frac {1}{e}}}}}\right)={\frac {1}{e}}$

$W({\pi }e^{\pi })=\pi$

$W(k{\ln k})={\ln k}$ $(k>0)$

$W({\rm {i}}\pi )=-{\rm {i}}\pi$

$W(-{\rm {i}}\pi )={\rm {i}}\pi$

$W({\rm {i}}\cos 1-\sin 1)={\rm {i}}$

$W(-{\frac {3}{2}}{\pi })=-{\frac {3}{2}}{\pi }{\rm {i}}$

$W(-{\frac {\sqrt[{7}]{8}}{7}}{\ln 2})=-{\frac {32}{7}}{\ln 2}$

$W(-{\frac {\sqrt {3}}{54}}{\ln 3})=-{\frac {9}{2}}{\ln 3}$

$W(-{\frac {\ln 2}{4}})=-4{\ln 2}$

$W\left(-1\right)={\frac {e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\arctan {2\pi \over t-\ln t}{\rm {d}}t}-\cos \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]+\pi \sin \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]-{\rm {i}}\left\{\pi \cos \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]+\sin \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]\right\}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\arctan {2\pi \over t-\ln t}{\rm {d}}t}}}\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}$

$W(-{\frac {\ln k}{k}})=-\ln k$

$W\left[-{\frac {\ln(x+1)}{x(x+1)^{\frac {1}{x}}}}\right]=-{\frac {x+1}{x}}\ln(x+1)>,-1<x<0$

应用

许多含有指数的方程都可以用$W\,$函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为$Y=Xe^{X}\,$的形式。

例子

例子1

$2^{t}=5t\,$

$\Rightarrow 1={\frac {5t}{2^{t}}}\,$

$\Rightarrow 1=5t\,e^{-t\ln 2}\,$

$\Rightarrow {\frac {1}{5}}=t\,e^{-t\ln 2}\,$

$\Rightarrow -{\frac {\ln 2}{5}}=(-\,t\,\ln 2)\,e^{-t\ln 2}\,$

$\Rightarrow -t\ln 2=W_{k}\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)\,$

$\Rightarrow t=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}\,$

更一般地，以下的方程

$Q^{ax+b}=cx+d\,$

其中

$Q>0\land Q\neq 1\land c\neq 0$

两边同乘: ${\frac {a}{c}}$，

得到：${\frac {a}{c}}Q^{ax+b}=ax+{\frac {ad}{c}}\,$

同除以：$Q^{ax}\,$，

得到：${\frac {a}{c}}Q^{b}=\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)Q^{-ax}\,$

同除：$Q^{\frac {ad}{c}}\,$，

${\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}=\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)Q^{-\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)}\,$

可以用变量代换

令$t=ax+{\frac {ad}{c}}$

化为

$tQ^{-t}={\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

即：$t\left(e^{\ln Q}\right)^{-t}={\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

同乘：${\ln Q}\,$

得出

$t{\ln Q}\cdot e^{-t\ln Q}={\ln Q}\cdot {\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

故$t{\ln Q}=-W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$

带入$t=ax+{\frac {ad}{c}}$

为

$\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right){\ln Q}=-W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$

因此最终的解为

$x=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

若辅助方程：$xe^{x}=-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$中，

$-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left(-\infty ,-{\frac {1}{e}}\right)$,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解；

若：$-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left\{-{\frac {1}{e}}\right\}\cup \mathbf {[} 0,+\infty )$,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

$x=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

若: $-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left(-{\frac {1}{e}},0\right)$,

辅助方程有二实解，设为$W\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$，

${\rm {W}}_{-1}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$，

为

$x_{1}=-{\frac {W\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

$x_{2}=-{\frac {{\rm {W}}_{-1}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

$x^{x}={\mathrm {t} }\,,$

为

$x={\frac {\ln {\rm {t}}}{W(\ln {\rm {t}})}}\,$

或

$x=\exp \left(W_{k}\left[\ln({\rm {t}})\right]\right).$

例子3

以下方程的解

$x\log _{b}{x}=a\,$

具有形式

$x={\frac {a{\ln b}}{W_{k}\left(a{\ln b}\right)}}$

例子4

$x^{a}-b^{x}=0\,$

$a>0\,$ : $b>0\,$ : $x>0\,$

取对数，

$a\ln x=x\ln b\,$

${\frac {\ln x}{x}}={\frac {\ln b}{a}}\,$

$e^{\frac {\ln x}{x}}=e^{\frac {\ln b}{a}}\,$

$x^{\frac {1}{x}}=b^{\frac {1}{a}}\,$

取倒数，

$\left({\frac {1}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}=b^{-{\frac {1}{a}}}\,$

${\frac {1}{x}}=-{\frac {\ln b}{aW\left(-{\frac {1}{a}}\ln b\right)}}\,$

最终解为 : $x=-{\frac {a}{\ln b}}W_{k}\left(-{\frac {\ln b}{a}}\right)\,$

例子5

$(ax+b)^{n}=u^{cx+d}\,$

两边开$n\,$次方并除以$a\,$得

$x+{\frac {b}{a}}={\frac {u^{{\frac {c}{n}}x+{\frac {d}{n}}}}{a}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,$

令$u=e^{\ln u}\,$ ，

化为

$x+{\frac {b}{a}}={\frac {e^{{\frac {c\ln u}{n}}x+{\frac {d\ln u}{n}}}}{a}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,$

两边同乘

$-{\frac {c\ln u}{n}}u^{-{\frac {c}{n}}x-{\frac {cb}{na}}}\,$ ，

$\left(-{\frac {c\ln u}{n}}x-{\frac {cb\ln u}{na}}\right)e^{-{\frac {c\ln u}{n}}x-{\frac {cb\ln u}{na}}}=-{\frac {c\ln u}{na}}u^{{\frac {d}{n}}-{\frac {cb}{na}}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,$

最终得

$x_{k}=-{\frac {n}{c\ln u}}W_{k}\left[-{\frac {c\ln u}{na}}u^{{\frac {d}{n}}-{\frac {cb}{na}}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\right]-{\frac {b}{a}}\,$

$k\in {\mathbb {Z} }\,$

一般化

标准的 Lambert W 函数可用来表示以下超越代数方程式的解：

$e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

其中 a₀, c 与 r 为实常数。

其解为${\textstyle x=r+{\tfrac {W\left({\frac {ce^{-cr}}{a_{o}}}\right)}{c}}}$

Lambert W 函数之一般化 包括:

• 一项在低维空间内广义相对论与量子力学的应用（量子引力），实际上一种以前未知的 连结 于此二区域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity” 所示其 (1) 的右边式现为二维多项式 x：

$e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)$

其中 r₁ 和 r₂ 是不同实常数，为二维多项式的根。于此函数解有单一引数 x 但 r_i 和 a_o 为函数的参数。如此一来，此一般式类似于 “hypergeometric”（超几何分布）函数与 “Meijer G“，但属于不同类函数。当 r₁ = r₂，(2)的两方可分解为 (1) 因此其解简化为标准 W 函数。(2)式代表著 “dilaton”（轴子）场的方程，可据此推导线性，双体重力问题 1+1 维（一空间维与一时间维）当两不等（静止）质量，以及，量子力学的特征能Delta位势阱给不等电位于一维空间。

• 量子力学的一特例特征能的分析解三体问题，亦即（三维）氢分子离子。于此 (1)（或 (2)）的右手边现为无限级数多项式之比于 x：

$e^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)$

其中 r_i 与 s_i 是相异实常数而 x 是特征能和内核距离R之函数。式 (3) 与其特例表示于 (1) 和 (2) 是与一更大类型延迟微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决。

Lambert "W" 函数于基础物理问题之应用并未完全即使标准情况如 (1) 最近在原子，分子，与光学物理领域可见 以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则

图象

• 朗伯W函数在复平面上的图像
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
• 

计算

W函数可以用以下的递推关系算出：

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

外部链接

• MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）