弗勒内-塞雷公式

在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R³中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。

空间曲线的切向量 T，法向量 N 和副法向量 B；以及切向量和法向量张成的密切平面。

单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：

T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。
B 是 T 和 N 的外积。

弗勒内公式如下：

{\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}

其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式

平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。

记r(t) 为欧式空间R³中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .

由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

单位切向量 T：

\mathbf {T} ={d\mathbf {r}  \over ds}.\qquad \qquad (1)

主法向量 N：

\mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)

副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)

螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。

由于 $|\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,$ 所以 N 与 T 垂直。方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒内公式如下：

{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：^[1]

{\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

参阅

注释

^ Kühnel 2002，§1.9

参考资料

Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230
Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995
Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2011-07-16） . Abstract in J. de Math. '17', 1852.
Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, （原始内容 (PDF)存档于2006-12-29） .
Griffiths, Phillip, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Mathematics Journal, 1974, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5 .
Guggenheimer, Heinrich, Differential Geometry, Dover, 1977, ISBN 0-486-63433-7
Hanson, A.J., Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves (PDF), Indiana University Technical Report, 2007
Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V., Frenet-Serret description of gyroscopic precession, Phys. Rev., D, 1993, 48 (12): 5706–5720
Jordan, Camille, Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions, C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, 79: 795–797
Kühnel, Wolfgang, Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR 1882174
Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2022-03-15） .
Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .
Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964
Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部链接

[1] Kühnel 2002，§1.9

[1]