全集

数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则称作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。

在特定场合下

这个一般概念有数个精确的版本。最简单的情况下可以将任意集合 $U$ 定义成全集，只要研究的对象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线 $\mathbb {R}$ 就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析，这时他默认地使用著的全集就是实数线 $\mathbb {R}$ 。康托尔一开始关心的也只是 $\mathbb {R}$ 的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集 $U$ 的大长方形内进行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是 $U$ 的子集。集合 $A$ 的补集则为长方形中表示 $A$ 的圆形的外面的部分。严格地说，这是 $A$ 对 $U$ 的相对补集' $U\backslash A$ ；但在 $U$ 是全集的场合下，这可以被当成是 $A$ 的绝对补集' $A^{C}$ 。同样的，有一个称为空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就会是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即 $U$ ）下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反， $U$ 的幂集，即 $U$ 的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集 $U$ 则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。

在一般数学中

然而，当考虑过给定集合 $X$ 的子集（在康托尔的例子中， $X=\mathbb {R}$ ），可能就会进一步关心 $X$ 的子集组成的集合。（例如： $X$ 上的一个拓扑就是一个 $X$ 的子集组成的集合。）这些不同的 $X$ 的子集组成的集合本身，一般而言并不是 $X$ 的子集，却是 $X$ 的幂集 $\mathbf {P} X$ 的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑 $X$ 的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积 $X\times X$ ，或从 $X$ 映射到其自身的函数。接著，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从 $X$ 映射到 $X\times \mathrm {P} X$ 的函数，等等。

这样，尽管主要关心的是 $X$ ，仍然需要一个比 $X$ 大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要 $X$ 上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：

设 $\mathbf {S} _{0}X$ 为 $X$ 自身。
设 $\mathbf {S} _{1}X$ 为 $X$ 和 $\mathbf {P} X$ 的并集。
设 $\mathbf {S} _{2}X$ 为 $\mathbf {S} _{1}X$ 和 $\mathbf {P} (\mathbf {S} _{1}X)$ 的并集。
一般的，设 $\mathbf {S} _{n+1}X$ 为 $\mathbf {S} _{n}X$ 和 $\mathbf {P} (S_{n}X)$ 的并集。则 $X$ 上的超结构，写作 $\mathbf {S} X$ ，为 $\mathbf {S} _{0}X$ ， $\mathbf {S} _{1}X$ ， $\mathbf {S} _{2}X$ ，等等，的并集；或

\mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!

注意到，无论初始集合 $X$ 如何，空集总是属于 $\mathbf {S} _{1}X$ 。重定义空集为冯·诺伊曼序数 $[0]$ 。则 $\{[0]\}$ ，是仅含有空集为元素的集合，属于 $\mathbf {S} _{2}X$ ；定义为冯·诺伊曼序数 $[1]$ 。类似的， $\{[1]\}$ 属于 $\mathbf {S} _{3}X$ ，则 $\{[0]\}$ 和 $\{[1]\}$ 的并集 $\{[0],[1]\}$ 也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数 $[2]$ 。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若 $x$ 和 $y$ 属于这个超结构，则 $\{\{x\},\{x,y\}\}$ （这个集合表示了有序对 $(x,y)$ ）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数 $[n]$ 的函数。等等。

所以，就算仅从 $X=\{\}$ 出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是，这样 $\mathbf {S} \{\}$ 的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于 $\mathbf {S} \{\}$ ，但“所有”自然数的集合 $\mathbb {N}$ 不属于 $\mathbf {S} \{\}$ （尽管它是 $\mathbf {S} \{\}$ 的“子集”）。实际上， $X$ 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合 $\mathbb {N}$ （一个"完全的无穷大"）则不然。

然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说， $\mathbf {S} \{\}$ 是不足够的，因为尽管 $\mathbb {N}$ 是 $\mathbf {S} \{\}$ 的子集，但 $\mathbb {N}$ 的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造 $\mathbf {S} (\mathbf {S} \{\})$ 。不过，为简单起见，就只用给出的自然数集合 $\mathbb {N}$ 来构造 $\mathbf {S} \mathbb {N}$ ，即 $\mathbb {N}$ 上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有数学物件，都已作为这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通过戴德金分割）都会属于 $\mathbf {S} \mathbb {N}$ 。即使是非标准分析，也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。

应当注意，这个部分在观念上有些改变，这里全集是任何被关心的集合 $U$ 。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管 $\mathbf {P} (\mathbf {S} X)$ 是一个布尔格，但相应的 $\mathbf {S} X$ 不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格 $\mathbf {P} A$ ，这里 $A$ 是 $\mathbf {S} X$ 中任意相应的集合；则 $\mathbf {P} A$ 是 $\mathbf {S} X$ 的子集（实际上它属于 $\mathbf {S} X$ ）。

在集合论中

正式来说，可以给出一个精确定义，来说明为何 $\mathbf {S} \mathbb {N}$ 为一般数学的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！最后一步，构造 $\mathbf {S}$ 成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在 $\mathbf {S} \mathbb {N}$ 中进行，对 $\mathbf {S} \mathbb {N}$ 的讨论则不再"一般"，而是转向元数学的领域。

但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到 $X=\{\}$ （空集），并用（标准的）符号 $V_{i}$ 表示 $\mathbf {S} _{i}\{\}$ 。则有 $V_{0}=\{\}$ ， $V_{1}=\mathbf {P} \{\}$ ，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项： $V_{\omega }$ ，这里 $\omega$ 为第一个无穷序数。按照序数知识，得到：