策梅洛集合论
策梅洛集合论（德語：Zermelo-Mengenlehre），设立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要论文，它是现代集合论的祖先。它与它的后代有特定的差别，经常被误解并经常被误引用。本文架设最初的公理，带有最初的文本（从德文译成了英文）和编号。
策梅洛集合论的公理
- 公理I。外延性公理（Axiom der Bestimmtheit）：“如果一个集合M的所有元素也是N的元素，且反之亦然...则M = N。简要的说，所有集合由它所包含的元素确定”。
- 公理II。基本集合公理（Axiom der Elementarmengen）：“存在这样的一个集合，即空集 ，它根本不包含元素。如果a是域的任何元素，存在一个集合{a}包含a并只包含a作为元素。如果a和b是域的任何两个元素，总是存在一个集合{a, b}包含a和b作为元素，而不包含不同于它们二者的对象x”。参见空集公理、对集公理。
- 公理III。分离公理（Axiom der Aussonderung）：“只要命题函数–(x)对于一个集合M的所有元素是明确的，则存在M一个子集M' ，它精确地包含M中使–(x)为真的那些元素作为元素”。
- 公理IV。幂集公理（Axiom der Potenzmenge）：“对于所有集合T都对应着一个集合T' ，T的幂集，精确的包含T的所有子集作为元素”。
- 公理V。并集公理（Axiom der Vereinigung）：“对于所有集合T都对应着一个集合∪T，T的并集，精确的包含T的元素们的所有元素作为元素”。
- 公理VI。选择公理（Axiom der Auswahl）：“如果T是其元素都是不同于 并且相互无交的集合们的集合，它的并集∪T包含至少一个子集S1有一个且只有一个元素公共于T的每个元素”。
- 公理VII。无穷公理（Axiom des Unendlichen）：“在域中存在至少一个集合Z包含空集作为一个元素，并且对于它的每个元素a都对应着形如{a}的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素a它也包含对应的集合{a}作为元素”。
与标准集合论的联系
公认的标准集合论是策梅洛-弗兰克尔集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。（后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通过外延性{a,a} = {a}。）空集公理已经被无穷公理所假定，现在不被包括为它的一部分了。
这里的公理不包括正规公理和替代公理。它们是Thoralf Skolem在1922年基于同一年早些时候Adolf Fraenkel的工作而增加的。
在现代ZFC系统中，在分离公理中提及的“命题函数”被解释为“可用带有参数的一阶公式定义的任何性质”。“一阶公式”的概念在1904年策梅洛发表他的公理的时候是未知的，而他后来拒绝这种解释因为太受限制了。
在通常的ZFC集合论的累积层次Vα（对于序数α）中，对于大于第一个无限序数ω的极限序数α的集合Vα之一形成了策梅洛集合论的模型。所以策梅洛集合论的相容性是ZFC集合论的一个定理。策梅洛的公理不允许很多无限基数的存在；例如，在策梅洛集合论的模型Vω+ω中对于有限序数α只有无限基数 。
无穷公理现在通常被修改为断言第一个无限冯·诺伊曼序数 的存在性；有意思的是观察到最初的策梅洛公理不能证明这个集合的存在，而修改后的策梅洛公理也不能证明策梅洛的无穷公理。策梅洛的公理（最初的或修改后的）不能证明 作为一个集合的存在性，也不能证明带有无限标定（index）的累积层次的任何阶的存在性。
策梅洛论文的目标
介绍声称了集合论学科的真正存在性，“它好像受到从它的原理推导出的特定矛盾或“自相矛盾”的威胁–这些原理必然支配我们的思维–而完全满意的解决似乎仍未找到。”策梅洛当然指的是罗素悖论。
分离公理
策梅洛注解他的系统中的公理III负责消除悖论。它不同于康托尔最初的定义。
集合不能用任何任意的逻辑上可定义的概念来独立的定义。它们必须被“分离”为已经“给出”的集合的子集。他说这消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序数的集合”。
康托尔定理
引用
- Zermelo, Ernst. "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen, 65: 261-281, 1908. English translation, "Investigations in the foundations of set theory" in Heijenoort 1967, pages 199-215.