角动量图

在量子力学以及其应用如多体问题、量子化学等领域中，角动量图是一种图形表示法，用以代表一量子系统的角动量量子态，使得相关计算能以符号形式推演。此方法的箭号将角动量态与狄拉克符号连结。

此方法是由立陶宛物理学家阿朵发斯‧朱西斯于20世纪发明。在量子力学以及量子场论领域中，形似的符号表示法尚有费曼图与彭罗斯图形符号。这些图样包含有箭头与顶点，有些还有量子数的标记。

狄拉克符号与朱西斯角动量图的等价

角动量量子态

单一粒子带有总角动量量子数j与总磁量子数m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j，其量子态矢量以狄拉克符号的右矢（Ket）标记为|j, m⟩，其图形则为单箭头的箭号。有一相对应的左矢（Bra）为⟨j, m|，其图形为双箭头的箭号，指向与右矢相反。

例子中

• 量子数j、m常标记在箭头附近，以表示特定的角动量量子态，
• 箭头常在线段的中间
• 等号"="置于等价的图样之间，如同相应的代数运算。

最基本的左矢与右矢图形符号为：

右矢 |j, m⟩

左矢 ⟨j, m|

箭号指向顶点或从顶点指出，分别为

• 标准表象（standard representation）以一条离开顶点的指向线段表示，
• 反标准表象（contrastandard representation）则是以一条进入顶点的指向线段表示。

箭号一个一个相接续。在反标准表象中，采用时间反转算符T。T算符是幺正的，也就是其厄米伴算符T^†等于其反算符T⁻¹，即T^† = T⁻¹。其作用在位置算符时，结果保持不变：

$T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}$

线动量算符则变为负值：

$T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}$

自旋算符也变为负值：

$T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}$

既然轨域角动量算符L = x × p，在T算符作用后也会变为负值：

$T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}$

也因此总角动量算符J = L + S也变为负值：

$T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}$

作用在角动量算符本征态|j, m⟩，可得：（见注释）

$T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle$

时间反转的图形符号为：

时间反转右矢|j, m⟩.

时间反转左矢⟨j, m|.

将顶点标记在正确位置相当重要，否则正向时间与反向时间的算符会相互混淆。

内积

状态|j₁, m₁⟩与状态|j₂, m₂⟩的内积：

$\langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}$

相应的图形符号为：

|j₁, m₁⟩与|j₂, m₂⟩的内积，亦即⟨j₂, m₂|j₁, m₁⟩

时间反转等价

将内积加总，也就是缩并的计算：

$\sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1$

习惯上会以一封闭圆来表示，并且标上j：

内积缩并计算

外积

状态|j₁, m₁⟩与状态|j₂, m₂⟩的外积是一算符：

$\left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|$

相对应的图形符号为：

|j₁, m₁⟩与|j₂, m₂⟩的外积，亦即|j₂, m₂⟩⟨j₁, m₁|

时间反转等价

将外积加总，也就是缩并的计算：

${\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}$

时间反转算符T的结果可见于上式T|j, m⟩。对外积缩并计算来缩，正向时间与反向时间没有差别，因此图形符号表示是相同的，皆为一无指向的线段，其上仅标示j：

外积缩并计算

张量积

n状态|j₁, m₁⟩, |j₂, m₂⟩, ... |j_n, m_n⟩的张量积⊗可写为：

${\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}$

图形符号则呈扇形——n项个别态的线段汇聚于一共同顶点。

顶点附近标有一正负号，以表示张量积的顺序：

• 负号(−)表示顺序为顺时针走向$\circlearrowright$，
• 正号(+)表示顺序为逆时针走向$\circlearrowleft$.

有时候会在正负号之外，加上弯箭头来表示上述的走向。

|j₁, m₁⟩, |j₂, m₂⟩, |j₃, m₃⟩的张量积，亦即|j₁, m₁⟩|j₂, m₂⟩|j₃, m₃⟩ = |j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩

时间反转等价

两张量积态的内积：

${\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}$

|j′₁, m′₁, j′₂, m′₂, j′₃, m′₃⟩与|j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩的内积，亦即⟨j′₃, m′₃, j′₂, m′₂, j′₁, m′₁|j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩

时间反转等价

相关条目

• 角动量
• 狄拉克符号
• 克莱布希－高登系数
• 角动量算符
• 阶梯算符
• 费曼图

参考资料

注释

• P.E.S. Wormer, J. Paldus. Angular Momentum Diagrams 51. Elsevier. 2006: 59–124 [2015-03-18]. ISSN 0065-3276. doi:10.1016/S0065-3276(06)51002-0. （原始内容存档于2019-04-11）.  These authors use the theta variant ϑ for the time reversal operator, here we use T.

• I. Lindgren, J. Morrison. Atomic Many-Body Theory. Chemical Physics 13 2nd. Springer-Verlag. 1986 [2015-03-18]. ISBN 3-540-166-491. （原始内容存档于2015-04-02）. 

延伸阅读

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• U. Kaldor, S. Wilson. Theoretical Chemistry and Physics of Heavy and Superheavy Elements. Progress in Theoretical Chemistry and Physics 11. springer. 2003: 183 [2015-03-18]. ISBN 1-4020-1371-X. （原始内容存档于2015-04-11）. 

• E.J. Brändas, P.O. Löwdin, E. Brändas, E.S. Kryachko. Fundamental World of Quantum Chemistry: A Tribute to the Memory of Per-Olov Löwdin 3. Springer. 2004: 385 [2015-03-18]. ISBN 1-402-025-831. （原始内容存档于2015-04-07）. 

• P. Schwerdtfeger. Relativistic Electronic Structure Theory: Part 2. Applications. Theoretical and Computational Chemistry 14. Elsevier. 2004: 97 [2015-03-18]. ISBN 008-054-047-3. （原始内容存档于2015-04-07）. 

• M. Barysz, Y. Ishikawa. Relativistic Methods for Chemists. Challenges and advances in computational chemistry and physics 10. Springer. 2010: 311 [2015-03-18]. ISBN 1-402-099-754. （原始内容存档于2015-04-06）. 

• G.H.F. Diercksen, S. Wilson. Methods in Computational Molecular Physics. Nato Science Series C 113. Springer. 1983 [2015-03-18]. ISBN 9-027-716-382. （原始内容存档于2015-04-10）. 

• Zenonas Rudzikas. 8. Theoretical Atomic Spectroscopy. Cambridge Monographs on Atomic, Molecular and Chemical Physics 7. University of Chicago: Cambridge University Press. 2007 [2015-03-18]. ISBN 0-521-026-229. （原始内容存档于2015-04-05）. 

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