归一条件

量子力学里,表达粒子量子态波函数必须满足归一条件归一化,或规范化,英语:be normalized),也就是说,在空间内,找到粒子的概率必须等于 。这性质称为归一性。用数学公式表达,

 ;

其中, 是粒子的位置, 是波函数。

归一化导引

一般而言,波函数   是一个复函数。可是,  是一个实函数,大于或等于   ,称为“概率密度函数”。所以,在区域   内,找到粒子的概率  

 (1)

既然粒子存在于空间,概率是   。所以,积分于整个一维空间:

 (2)

假若,从解析薛定谔方程而得到的波函数   ,其概率   是有限的,但不等于   ,则可以将波函数   乘以一个常数,使概率   等于   。或者,假若波函数内,已经有一个任意常数,可以设定这任意常数的值,使概率   等于  

实例

在一维空间内,束缚于区域   内的一个粒子,其波函数是

 

其中, 波数 角频率  是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值   。将波函数代入:

 

积分于整个粒子存在的区域:

 

稍加运算,

 

归一化的波函数是:

 

薛定谔方程的形式不变

薛定谔方程为

 

其中, 约化普朗克常数 位势 能量

将波函数   归一化为   。则薛定谔方程成为

 
 
 

薛定谔方程的形式不变。对于归一化,薛定谔方程是个不变式,因为薛定谔方程是个线性微分方程

一个表达粒子量子态的波函数,必须满足粒子的薛定谔方程。既然    都能够满足同样的薛定谔方程,它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数,则只能知道概率的相对大小;否则,使用归一化的波函数,可以知道绝对的概率。这对于量子问题的解析,会提供许多便利。

归一化恒定性

给予一个归一化的波函数.随着时间的变化,波函数也会改变.假若,随着时间改变的波函数不再满足归一条件,则势必要重新将波函数归一化.这样,归一常数   变得含时间.很幸运地,满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的.设定波函数   满足薛定谔方程与归一条件:

 
 

假若,归一性是恒定的,则概率   不含时间。为了显示这一点,先计算  

 

展开被积函数

 

编排薛定谔方程,可以得到波函数   对于时间的偏导数:

 

共轭波函数   对于时间的偏导数为

 

   代入被积函数

 

代入   的方程:

 

可是,在     都等于 0 .所以,

 

概率   不含时间。波函数的归一化是恒定的。

参考文献

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 

参阅

外部链接