User:Physicsyang15/Solution of Schrödinger equation for a step potential

量子力學散射理論中,一維的階梯位能是一個理想化的系統,用以模擬物質波的入射、反射與透射。在此問題中,需要處理粒子在一維階梯位能中的不含時薛丁格方程。 一般而言,可以用黑維塞階梯函數來模擬此階梯位能。

計算

薛丁格方程與位能函數

 
綠線是高度為V0的階梯位能。黃線是入射波,藍線是反射與透射波。紅線的情況不會發生。在此E > V0

 波函數  所滿足的不含時的薛丁格方程如下:

 

在此H哈密頓算符ħ約化普朗克常數m質量E 是粒子的能量。此階梯位能只是高度V0與黑維塞階梯函數的乘積。

 

此階梯函數將障壁置於 x = 0 處。若置於任意位置 x0 並不會改變結果,僅須將位置座標平移 -x0 即可。

哈密頓算符中的第一項   是粒子的動能。