瓦特曲線

瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線,也是圓代數曲線英语circular algebraic curve。是由二個半徑為b ,圓心之間距離為2a(分別在(±a, 0))的圓所產生,一個長為2c的線段,兩端點分別在二圓上,其線段中間的軌跡即為瓦特曲線,此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。

繪製瓦特曲線(圖中的黑線)

瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程

推導

极坐标系

极坐标系方程可以用下式推導[1]: 在複數平面上,令二圓的圓心為a−a,二圓連線的端點為−a+bei λa+bei ρ。令線段相對水平線的斜角ψ,其中點為rei θ,則二端點也可表示為rei θ ± cei ψ。二端點的二種表示式可得:

 
 

二式相加再除二可得

 

比較半徑及幅角可得

 

一開始的二式相減再除二可得

 

a以下式表示

 

因此

 
 
 
 

直角座標系

將極座標方式展開可得

 
 
 
 
 

d 2=a2+b2c2 因此可簡化上式為: 

瓦特連桿

 

當曲線通過原點時,原點為拐點,因此有3階接觸切線。不過若a2=b2+<c2,則有5階接觸切線,換句話說此曲線相當接近直線,這就是瓦特連桿英语Watt's linkage可以作為直線運動機構的原理。

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參考資料

  1. ^ See Catalan and Rutter

外部連結