对称函数环

代数组合学中,对称函数环n趋近于无穷大时,n对称多项式的特定极限。此环是一种通用结构,其中对称多项式间的关系可用一种与n无关的方式表达(但其元素不是多项式也不是函数)。此环也在对称群表示论中起着重要作用。

对称函数环可给出余积双线性形式,使其成为正定自伴分次霍普夫代数,其是交换的也是余交换的。

对称多项式

对称函数研究以对称多项式为基础。多项式环中,在变量的某有限集中,若变量的顺序不会影响多项式的值,则称多项式是对称的。更形式地说,在n元多项式环上有对称群 环同态作用,其中排列对多项式的作用是根据所用的置换,同时将变量替换成另一个。这作用的不变量构成对称多项式子环。若变量是 ,则这种对称多项式的例子是

 
 
 

稍微复杂一点,

 

其中求和包含某变量的立方与另两个变量之积(所有变量)。对称多项式有很多种,如基本对称多项式次方和对称多项式单项对称多项式完备齐次对称多项式舒尔多项式等等。

对称多项式环

对称多项式之间的关系往往不取决于n,只是关系中的某些多项式可能需要足够大的n才能定义。例如,多项式立方和 牛顿恒等式导致

 

其中 表示基本对称多项式。此式对所有自然数n都成立,唯一值得注意的是, 时, 。可以将其表为方程

 

其与n无关,且在对称函数环中成立。环中,对所有整数 有非零元 ,且环中任何元素都可用元素 的多项式表达式给出。

定义

对称多项式环可定义在任意交换环R上,可记作 。基本情形是 。环 实际上是分次R-代数,有两种主要构造,下面给出第一种,可见于(Stanley, 1999),第二种可见于(Macdonald, 1979)。

作为形式幂级数环

最简单(仍有点繁琐)的构造始于R上的(可数)无穷多元形式幂级数环 。此幂级数环的元素形式上是无穷级数,包含R中系数乘以单项式,后者是有限多变量的有限次幂之积。将 定义为由满足以下条件的幂级数S组成的子环:

  1. S在变量的任何排列下都不变;
  2. S中单项式次数有界。

注意,由于第二个条件,此处幂级数只是为了允许无穷多一定次数的项,而非所有可能次数的项。允许这样做是必要的,比方说,包含项 的元素为维持对称性也应包含项 。不同于整个幂级数环,子环 按单项式的总次数分次:由于条件2, 中的所有元素都是 齐次元素的有限和(其本身是等次项的无限和)。对所有 ,元素 被定义为k个不同变量所有积的形式和,这显然是k次齐次的。

另见

参考文献

  • Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
  • Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
  • Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).