亨泽尔引理

亨泽尔引理(英語:Hensel's Lemma)是数学模算术的一個结论。亨泽尔引理说明,如果一个pp是给定的质数)的多项式方程有一个单根,则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环(包括p进数)中,亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单,亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容

 係數多項式 為不少於2的整數, 質數。若整數 是下面同餘式的根:

 

對於

  (I)

,則有:

  •  ,則存在唯一的整數 使得(I)成立。
 
  •    ,則(I)對任意整數t成立。
  •   ,則(I)無整數解。

證明

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

 

因此可見,由第三項開始,都必能被 整除。因此:

 

推廣

 為完備局域。設   的整數環,設 為係數在  的多項式,若存在  使得

 

 有根 

且:

  1.   趨近 
  2.  

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考