非凸大斜方截半二十面體

幾何學中,非凸大斜方截半二十面體是一種非凸均勻多面體[5],由62個面、120條邊和60個頂點組成[6],其索引為U67對偶多面體大鳶形六十面體英语Great deltoidal hexecontahedron[2],具有二十面體群對稱性英语Icosahedral symmetry[6][7]可以視為大十二面截半二十面體刻面英语Faceting多面體。[8]施萊夫利符號中,非凸大斜方截半二十面體可以表示為t0,2{53,3}[1]:162[2],在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以表示為node_1 5 rat d3 node 3 node_1 ,在威佐夫記號中可以表示為3 53 | 2[3][4][2]

非凸大斜方截半二十面體
非凸大斜方截半二十面體
類別均勻星形多面體
對偶多面體大鳶形六十面體英语Great deltoidal hexecontahedron
識別
名稱非凸大斜方截半二十面體
great rhombicosidodecahedron
uniform great rhombicosidodecahedron
nonconvex great rhombicosidodecahedron
quasirhombicosidodecahedron
參考索引U67, C84, W105
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
qrid
數學表示法
施萊夫利符號t0,2{53,3}
[1]:162[2]
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
3 53 | 2[3][4][2]
性質
62
120
頂點60
歐拉特徵數F=62, E=120, V=60 (χ=2)
組成與佈局
面的種類20個正三角形
30個正方形
12個正五角星
頂點圖3.4.5/3.4
對稱性
對稱群Ih, [5,3], *532
圖像
立體圖
3.4.5/3.4
頂點圖

大鳶形六十面體英语Great deltoidal hexecontahedron
對偶多面體

非凸大斜方截半二十面體與小斜方截半二十面体拓樸同構[8],其骨架圖在拓樸學上是等價的[9]

這個多面體與凸大斜方截半二十面体同名。

性質

非凸大斜方截半二十面體共有62個、120條和60個頂點[6]在其62個面中,有20個正三角形、30個正方形和12個正五角星[5]:134[10][11],在這些面中,共有12個非凸面和12個自相交面[4]。若排除互相相交與自相交面,作為一個簡單多面體則其外部面共有980個。[12]

非凸大斜方截半二十面體的歐拉示性數為:

V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2

因此這個多面體同胚於球體。[10]

其60個頂點每個頂點都是2個正方形、一個五角星和一個正三角形的公共頂點,並依照五角星、正方形、三角形、正方形的順序在頂點周圍來列,並形成了一個交叉四邊形,在頂點圖中,這樣的頂角可以用[5/3,4,3,4]或來表示[8]

二面角

非凸大斜方截半二十面體有兩種二面角,分別為正方形面與三角形面的二面角以及正方形與五角星的二面角。

正方形與三角形的二面角約為69[13]

 

正方形與五角星的二面角約為58.28度[8]或視為反向相接的301.71747度[13]

 

尺寸

若非凸大斜方截半二十面體的邊長為單位長,則其外接球半徑為:[14]:1250[2]

 

分類

非凸大斜方截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性,同時,其存在自相交的面,因此非凸大斜方截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)。自相交擬擬正多面體一共有12種[15],除了小雙三角十二面截半二十面體外,其餘由阿爾伯特·巴杜羅(Albert Badoureau)於1881年發現並描述。[16]

自相交擬擬正多面體
(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)
 
小立方立方八面體
 
大立方截半立方體
 
非凸大斜方截半立方體
 
小十二面截半二十面體
 
大十二面截半二十面體
 
小雙三角十二面截半二十面體
 
大雙三角十二面截半二十面體
 
二十面化截半大十二面體
 
小二十面化截半二十面體
 
大二十面化截半二十面體
 
斜方截半大十二面體
 
非凸大斜方截半二十面體

相關多面體

非凸大斜方截半二十面體與截角大十二面體以及6英语Compound_of_six_pentagonal_prisms12複合五角柱英语Compound_of_twelve_pentagonal_prisms共用相同的頂點佈局。同時,其亦與大十二面截半二十面體大斜方十二面體共用相同的邊佈局。[8]

 
非凸大斜方截半二十面體
 
大十二面截半二十面體
 
大斜方十二面體
 
截角大十二面體
 
六複合五角柱英语Compound_of_six_pentagonal_prisms
 
十二複合五角柱英语Compound_of_twelve_pentagonal_prisms

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-09-19). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-02-28). 
  5. ^ 5.0 5.1 Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. (原始内容存档于2022-07-27). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. (原始内容存档于2020-02-17). 
  7. ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-10-22). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-09-21). 
  9. ^ B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. (原始内容 (PDF)存档于2022-04-06). 
  10. ^ 10.0 10.1 David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-10-18). 
  11. ^ Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. (原始内容存档于2021-10-19). 
  12. ^ Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. (原始内容存档于2022-08-22). 
  13. ^ 13.0 13.1 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-05-04). 
  14. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223. [失效連結]
  15. ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. (原始内容存档于2022-08-22). 
  16. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.