初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合$X$与$X$上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。

定义

定義 — $X$ 為集合，設有一集合族 ${\mathcal {Y}}$ 與其指標集 $I$ ：

$I\,{\overset {Y}{\cong }}\,{\mathcal {Y}}$

還有一族與之相對應的拓扑 ${\mathfrak {T}}$ ：

$I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathfrak {T}}$

$(\forall i\in I)\left[\tau _{i}{\text{ is a topology of }}Y_{i}\right]$

和一函数族 ${\mathcal {F}}$ ：

$I\,{\overset {f}{\cong }}\,{\mathcal {F}}$

$(\forall i\in I)\left(f_{i}:X\to Y_{i}\right)$

那 $X$ 上關於 ${\mathcal {F}}$ 的初拓扑 $\tau _{\mathcal {F}}$，定義為「對所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 為 $\tau _{\mathcal {F}}$ - $\tau _{i}$ 连续」的最粗糙拓扑。

定理 — 若 $\tau _{\mathcal {F}}$ 是上述定義所說， $X$ 上關於 ${\mathcal {F}}$ 的初拓扑，取：

${\mathcal {B}}:=\left\{B\,|\,(\exists i\in I)(\exists O\in \tau _{i})[B={f_{i}}^{-1}(O)]\right\}$

那 ${\mathcal {B}}$ 是 $X$ 的拓撲基，且 $\tau _{\mathcal {F}}$ 就是由 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓扑。

證明

因為： $(\forall i\in I)\{[X=f^{-1}(Y_{i})]\wedge (Y_{i}\in \tau _{i})\}$ 所以： $\left(X=\bigcup \{X\}\right)\wedge (\{X\}\subseteq {\mathcal {B}})$ 另外對於任意$i\in I$，和任意 $V,W\in \tau _{i}$ 有： ${f_{i}}^{-1}(V\cap W)={f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)$ 這樣，因為 $V\cap W\in \tau _{i}$ ，所以： ${f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)\in {\mathcal {B}}$ 根據以上所述， ${\mathcal {B}}$ 的確是 $X$ 的拓撲基。 另外，對任意 $X$ 上的拓撲 $\tau$ 來說，「對所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 為 $\tau$ - $\tau _{i}$ 连续」等價於： 「對所有 $i\in I$ ，和所有 $O\in \tau _{i}$ ， ${f_{i}}^{-1}(O)\in \tau$」 也就等價於： ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ 這樣根據拓撲基的性質(1)，$\tau _{\mathcal {F}}$ 就是 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓撲，至此本定理得證。$\Box$

上述拓扑基 ${\mathcal {B}}$ 裡的元素通常被稱為圓柱集合（cylinder set）。

实例

• 子空间拓扑是在子空間上，关于包含映射的初拓扑。
• 積拓撲是关于一族投影映射的初拓扑。
• 局部凸拓撲向量空間的弱拓扑是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质

特征性质

给出任意拓扑空间$Z$，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从$Z$到$X$的映射$g$是连续的，当且仅当 $f_{i}\circ g$ 是连续的。

从闭集分离点

称$f_{i}:X\rightarrow Y_{i}$从闭集分离点，如果$X$中任意闭集$A$，与任意不属于$A$的点$x$，$\exists i\in I$，使得
$f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))$
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合$X$的一个基。

从这个定理可以得到，如果$X$上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由$f^{-1}(U)$为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合$X$的一个基。

参考资料

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6. 
• Initial topology. PlanetMath. 
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.