一般拓撲學與數學的相關領域中,給定集合上的一族函數,其初拓撲(initial topology)是使得這一族函數連續最粗糙拓撲。

子空間拓撲積拓撲都是初拓撲的特例。事實上,初拓撲可以看作是這兩種結構的推廣。

與初拓撲對偶的結構稱為終拓撲

定義

定義 —  集合,設有一集合族   與其指標集  

 

還有一族與之相對應的拓撲  

 
 

和一函數 

 
 

  上關於  初拓撲  ,定義為「對所有     -   連續」的最粗糙拓撲。

定理 —   是上述定義所說,   上關於   的初拓撲,取:

 

  拓撲基,且   就是由   所生成的拓撲。

證明
因為:
 

所以:

 

另外對於任意 ,和任意   有:

 

這樣,因為   ,所以:

 

根據以上所述,   的確是   的拓撲基。

另外,對任意   上的拓撲   來說,「對所有     -   連續」等價於:

「對所有   ,和所有   

也就等價於:

 

這樣根據拓撲基的性質(1)  就是   所生成的拓撲,至此本定理得證。 

上述拓撲基   裏的元素通常被稱為圓柱集合英語Cylinder setcylinder set)。

實例

性質

特徵性質

給出任意拓撲空間 ,X上的初拓撲依照上面所給的定義。則有以下性質成立:
  的映射 是連續的,若且唯若   是連續的。

Evaluation

從閉集分離點

 從閉集分離點,如果 中任意閉集 ,與任意不屬於 的點  ,使得
 
這裏的cl閉包算子

關於初拓撲有如下定理:
一族連續映射從閉集分離點,若且唯若the cylinder sets構成集合 的一個基。

從這個定理可以得到,如果 上有一族連續映射從閉集分離點,那麼關於這族映射就存在一個初拓撲。反之是不成立的,因為初拓撲是由 為子基生成的拓撲,在這個定理中要求the cylinder sets是集合 的一個基。

參考資料