群概形

定義

在代數幾何中，一個概形$S$上的群概形$G$是範疇$\mathrm {Sch} _{S}$中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

• 以乘法、單位元與逆元定義：存在$\mathrm {Sch} _{S}$中的態射
  • 乘法：$m:G\times _{S}G\rightarrow G$
  • 單位元：$e:S\rightarrow G$
  • 逆元：$i:G\rightarrow G$

並滿足結合律等等群的性質。

• 以函子性定義：點函子$h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set}$透過遺忘函子$\mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set}$分解。。

換言之：對於任意的$S$-概形$T$，$G(T)$構成一個群；而且對任意$S$-態射$T'\rightarrow T$，誘導映射$G(T)\rightarrow G(T')$都是群同態。

• 代數群：設$k$為域，$\mathrm {Spec} (k)$上的連通、光滑群概形稱作$k$上的代數群。

• 李代數：群概形$G$自然地作用在它的全體向量場上。$G$的全體左不變向量場稱作$G$的李代數，記為$\mathrm {Lie} (G)$；它是$S$上的層。

例子

• 交換環譜$\mathrm {Spec} (A)$的群概形結構一一對應到$A$的Hopf代數結構。
• 阿貝爾簇：即一個域$k$上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。
• 線性代數群：即$GL(n)$中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在表示理論及數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言：若$k$代數封閉，則對所有代數群$G$都存在短正合列$1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1$，其中$H$是線性代數群而$A$是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
• 設$\mathrm {char} (k)=p>0$，並考慮$k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)$的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解$\mathrm {char} (k)>0$時的代數群之重要關鍵。

文獻

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press