群概形

定义

在代数几何中，一个概形$S$上的群概形$G$是范畴$\mathrm {Sch} _{S}$中的群对象。借由米田信夫引理，我们可以给出两种刻划：

• 以乘法、单位元与逆元定义：存在$\mathrm {Sch} _{S}$中的态射
  • 乘法：$m:G\times _{S}G\rightarrow G$
  • 单位元：$e:S\rightarrow G$
  • 逆元：$i:G\rightarrow G$

并满足结合律等等群的性质。

• 以函子性定义：点函子$h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set}$透过遗忘函子$\mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set}$分解。。

换言之：对于任意的$S$-概形$T$，$G(T)$构成一个群；而且对任意$S$-态射$T'\rightarrow T$，诱导映射$G(T)\rightarrow G(T')$都是群同态。

• 代数群：设$k$为域，$\mathrm {Spec} (k)$上的连通、光滑群概形称作$k$上的代数群。

• 李代数：群概形$G$自然地作用在它的全体向量场上。$G$的全体左不变向量场称作$G$的李代数，记为$\mathrm {Lie} (G)$；它是$S$上的层。

例子

• 交换环谱$\mathrm {Spec} (A)$的群概形结构一一对应到$A$的Hopf代数结构。
• 阿贝尔簇：即一个域$k$上的真（proper）代数群，它们必然是可交换的。
• 线性代数群：即$GL(n)$中的闭子群。仿射代数群都是线性代数群，它们在表示理论及数论中占有根本地位。Chevalley定理断言：若$k$代数封闭，则对所有代数群$G$都存在短正合列$1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1$，其中$H$是线性代数群而$A$是阿贝尔簇。在此意义下，所有代数群都是由阿贝尔簇与线性代数群建构而来。
• 设$\mathrm {char} (k)=p>0$，并考虑$k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)$的谱。这些群在拓朴上只有一个点，但其结构层带有幂零元素。这些子群在代数群的研究中相当常见，同时也是理解$\mathrm {char} (k)>0$时的代数群之重要关键。

文献

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press